第4讲奇数与偶数知识方法扫描能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数。要注意运用奇数与偶数的下列性质解题:1.两个整数的和与差有相同的奇偶性;2.奇数个奇数的和还是奇数,偶数个奇数的和是偶数;3.当为n偶数时,(-1)n=1;当为奇数时,(-1)n=-1.4.两个整数相加,若加数的奇偶性相同,那么它们的和是偶数;加数的奇偶性不同,那么它们的和是奇数。5.两个整数相乘,若乘数中有一个是偶数,那么乘积是偶数;如果乘数都是奇数,那么乘积是奇数。6.奇数≠偶数。经典例题解析例1.(1987年天津“中华少年杯”初中数学邀请赛试题)扑克牌中的A,J,Q,K分别表示1,11,12,13。甲取13张红桃,乙取13张黑桃,分别洗和后甲、乙依次各取个各一张牌,使红、黑牌配成13对。证明这13对数的差的积必为一个偶数。证法1:由于13张牌中的点数有7个奇数,6个偶数,所以当红、黑牌配成13对后,至少有一对数的奇偶性相同,这对数的差是偶数,于是这13对数的差的积必为一个偶数。证法2:由于13对数的和是0,所以不可能每对数得差都是奇数,否则它们的和为一个奇数。于是至少有一对数的差为偶数,即这13对数的差的积必为一个偶数。例2(1985年北京市初中数学竞赛试题)某电影院共有1985个座位。某天,这家电影院上下午各演一场电影,看电影的是甲乙两所中学的各1985名学生(同一个学校的学生有的看上午场,有的看下午场),试证明:电影院一定有这样的座位,这天看电影时上,下午在这个座位上坐的是两个不同学校的学生。证明:甲,乙两校看电影的学生都是1985人,电影院的座位也恰是1985.作如下统计:上午场下午场甲校n个座位(1985-n)个座位乙校(1985-n)个座位n个座位假设每个座位上,下午坐的都是同一学校的学生。对每个学生上午场与下午场人数应相等,则n=1985-n.即2n=1985.等式的左边是偶数,而右边是奇数,这个等式不可能成立。所以,至少存在这样一个座位,上,下午坐的是甲,乙不同学校的学生。例3.(1981年福州初中数学竞赛试题)设沿江有A1,A2,A3,A4,A5.A6六个码头,相邻两码头间的距离相等.早晨有甲、乙两船从A1出发,各自在这些码头间多次往返运货.傍晚,甲船停泊在A6码头,乙船停泊在A1码头.求证:无论如何,两船的航程总不相等(假定船在相邻两码头航行时,中途不改变航向).证明六个码头把A1到A6这段水路分成5个小段,设每段水路的长为a,由于船在任意一个码头出发,又返回码头时,往返每小段的水路总是相同的,因此,乙船的航程是a的偶数倍.甲船的航程是从A1到A6再加上各码头之间的往返路程,即5a+a的偶数倍=a的奇数倍,a的偶数倍≠a的奇数倍,故甲、乙船的航程总不相等.例4.(1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题)你能找到三个整数a,b,c,使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立吗?如果能找到,请举一例,如果找不到,请说明理由.解:找不到满足条件的三个整数理由如下:如果存在整数a,b,c,使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立.因为3388是偶数,则左边四个因子中至少有一个是偶数.不妨设a+b+c为偶数,则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数,同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数.b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数.因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除,而3388不能被16整除,得出矛盾.故不存在三个整数a,b,c满足关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388.例5.(第10届全俄中学生数学竞赛试题)在3×3的表格(1)和(2)中,每格填有“+”号或“-”号,然后每次将表格中的任意一行或任意一列的各格全部变号,试问重复若干次这样的“变号”程序后,能否从一张表变为另一张表?++--++------+--------+--+--+表(1)表(2)解考察两张表中位于左上角的2×2的小正方形,如下图中的黑框所示:++--++------+--------+--+--+表(1)表(2)表(1)中的小正方形中有4个“+”号,实施变号步骤后,“+”号的个数仍然是偶数;表(2)中的小正方形中有1个“+”号,实施变号步骤后,“+”号的个数仍然是奇数。故它们不能从一个变到另外一个。显然2×2的小正方形互变无法实现,所以3×3的大正方形的互变也无法实现。例6.(2007年第18届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题)小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线l,他发现:这2007个点中的每一个关于直线l对称点,仍然在这2007个点中。请你说明:这2007个点中至少有一个点在直线l上。解假设这2007个点都不在直线l上。由于其中每个点Ai(i=1,2,…,2007)关于直线l对称点Ai’仍在这2007个点中,所以Ai’也都不在直线l上。也就是说,不在直线l上的Ai(i=1,2,…,2007)与Ai关于直线l对称点Ai’成对出现,即平面上标出的点的总数应是偶数个,与点的总数2007相矛盾。因此,“这2007个点都不在直线l上”的假设不能成立,即这2007个点中至少有一个点在直线l上。例7(1985年安徽省初中数学竞赛试题)设有n个实数:x1,x2,…,xn,其中每一个不是+1,就是-1,且1122310nnnxxxxxxxx,求证:n是4的倍数。证明首先证n为偶数:因n个实数:x1,x2,…,xn,其中每一个不是+1,就是-1,所以n个分数:12xx,23xx,…,1nnxx,1nxx中的每一个不是+1,就是-1。而这n个分数和为0,所以n为偶数,设n=2k(k为整数),则n个分数中有k个+1,k个-1。其次证k为偶数:因n个分数的积为12xx•23xx•…•1nnxx•1nxx=1,即(+1)k(-1)k=1,(-1)k=1,所以k为偶数,从而n=2k为4的倍数。例8(2000年世界城际间数学联赛初中组试题)在15×15的棋盘上放置着15个“车”,彼此互不攻击,它们像“马”一样,各行一步。求证:现在有两个互相攻击。证明:记下每个车的行号和列号.因为彼此互不攻击,行号像列号那样都是各不相同的,所以,在这30个号中,有16个奇数14个偶数,当车移动一马步时,它的行号改变1,列号改变2,或行号改变2,列号改变1.这样各行一步后,30个号中的15个保持奇偶性,而剩余的15个改变它们的奇偶性.因此移动后,它们之中有16个奇号14个偶号是不可能的.这就意味着一定有两个车互相攻击..原版赛题传真同步训练一选择题1.(2001年全国初中数学联赛试题)如果a,b,c是三个任意的整数,那么,,222abbcca()(A)都不是整数(B)至少有两个整数(C)至少有一个整数(D)都是整数1.C2.(1994年澳洲初中数学竞赛AMC试题)如果n是整数,那么下列各数中一定为奇数的一个是()(A)5n(B)n2+5(C)n3(D)n+16(E)2n2+52.E3.(2001年第16届江苏初中数学竞赛试题)已知三个数a,b.c中有两个奇数,一个偶数,n是整数。如果S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+3n+3),那么()(A)S是偶数(B)S是奇数(C)S的奇偶性与n的奇偶性相同(D)S的奇偶性不能确定3.A因a,b.c中有两个奇数,一个偶数,故a+b+c为偶数,于是(a+n+1)+(b+2n+2)+(c+3n+3)=a+b+c+6n+6为偶数,从而(a+n+1)、(b+2n+2)、(c+3n+3)三数中至少有一个偶数(否则其和为奇数)所以S是偶数。4.(1994-1995学年度武汉等五市初一数学联赛试题)如果a,b,c都是正整数,且a,b是奇数,则23(1)abc是()。(A)只当c为奇数时,其值为奇数(B)只当c为偶数时,其值为奇数(C)只当c为3的倍数时,其值为奇数(D)无论c为任意整数,其值为奇数4.D5.(1994年北京市初中数学竞赛)四个学生进行计算比赛,程序是:在19,20,21,22,…,93,94这76个自然数相邻两个数之间任意添加“+”…“-”号,然后,求其代数和,四个人得到的结果分别是1,153,4106,4260.老师检查后指出,只有一个结果是正确的,则这个结果是()(A)1(B)153(C)4106(D)42605.C19+20+21+22…+93+9438113(1994)(2093)(2192)(5657)113384294共对,每对之和为==可见,这76个自然数相邻两数之间都添加“+”号时,其和为4294是偶数,由于这76个自然数相邻两数之间任意添加“+”“-”号,其代数和的奇偶性不变,均应是偶数,所以不能得1,也不能得153.最接近4294的“和数”是将19,20之间填入“-”号,其余均填“+”号,其代数和为4294-2×20=42544260.因此,4260不可能是这76个自然数经过添加“+”“-”号后所取到的“和数”。因此,正确结果只能是4106.事实上,只有93,94之间添加“-”号,其余均添加“+”号,有19+20+21+22+…+91+92+93-94=4106即4106是可以取到的“和数”。故选C。二填空题6.(1987年全国部分省市初中数学通讯赛题)若7个连续偶数之和为1988,则此7个数中最大的一个是________6.2907.(2003年哈尔滨第26届初中数学竞赛试题)已知ab+9=x,其中,a,b均为小于1000的质数,x是奇数,则x的最大值是。7.2003a,b中必然有一个是偶质数2,另外一个应是小于1000的最大质数997,x=2×99×7+9=2003.8.(2007年第5届创新杯数学邀请赛初一试题)47个不同的自然数的和是2006,这47个自然数中三最多有个奇数。8.44设有a个奇数,47-a个偶数,显然a必为偶数。下面讨论最多有多少个奇数:若a=46,则1+3+5+…+91=462=21162006,不合题意;若a=44,则1+3+5+…+87=442=1936,因2006-1936=70,故另外三个偶数的和为70(如2,4,64),即符合题意。所以奇数最多为44个。9.(1985年北京市初中数学竞赛)在一次象棋比赛中,每个选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分,平局每个选手各记1分,今有4个人统计了这次比赛中全部得分总数,由于有的人粗心,其数据各不相同,分别为1979,1980,1984,1985,经核实,其中有一人统计无误,则这次比赛共有____名选手参加.9.45每局比赛不管胜负如何,双方得分的和为2,从而全部得分总数应为偶数,于是只有1980,1984中的一个正确,设有x人参加比赛,则共比赛了2)1(xx场,总得分为)1(xx分,若xxx,1984)1(不是整数,不合题意;,1980)1(xx得x=45,符合题意.10.(2007年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题)从1,2,3,…,2006中,至少要取出个奇数才能保证存在两个数,它们的和为200810.504将1,2,3,…,2006中所有的奇数按和为2008的两个一组配成503组:(1,2007),(3,2005),(5,2003),…(1003,1005)。于是至少要取出504个奇数才一定有两个数同组,它们的和为2008。三解答题11.(第36届美国中学生数学竞赛试题)将奇正数1,3,5,7…排成五列,按下表的格式排下去,1985所在的那列,从左数起是第几列?135715131191719212331292725…………11.由表格可知,每行有四个正奇数,而1985=4×496+1,因此1985是第497行的第一个数,又奇数行的第一个数位于第二列,偶数行的第一个数位于第四列,所以从左数起,1985在第二列.12.(1984年全