856高等代数考研真题答案

第1页（共4页）2011年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码：856考试科目名称：高等代数一.（40分，每题4分）答：1.(C)2.(B)3.(D)4.(D)5.(C)6.(B)7.(A)8.(B)9.(A)10.(D)二.（20分）(1).证明：如果((),())1fxgx,((),())1fxhx,那么((),()())1fxgxhx.(2).命题“如果是()fx的m重根，那么是()fx的1m重根”对吗？若你认为这个命题是对的，给出一个证明。若你认为不对，请举出反例。答：(1).如果()fx与()()gxhx不互素，那么存在不可约多项式()px,使()()pxfx∣并且()()()pxgxhx∣.（5分）由后者可知，()()pxgx∣或者()()pxhx∣,都与((),())1fxgx及((),())1fxhx矛盾。(10分)(2).命题不对（4分）。反例：取2()1fxx,则()2fxx.0是()fx的1重根，但0不是()fx的2重根。（10分）三.（15分）已知行列式13311172173141151D.求12223242AAAA，其中ijA是元素ija的代数余子式。解：考虑行列式1131117211314151C，按它的第二列展开。（5分）由于C和D除了第二列外均相同，故12223242CAAAA，（10分）而计算可得113111721131415154C.所以1222324254AAAA.（15分）第2页（共4页）四．（20分）计算n阶行列式1231110000220000011nnnn-----LLLMMMMML.解：各列加到第一列；按第一列展开。原式12231010000220000011nnnnn……………………………..(10分)10002200(12)0011nnn……..………..………………..(15分)1(12)(1)(1)!nnn……..………..………..………………..(18分)11(1)(1)!2nn……..………..………..………………..(20分)五.（10分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为(2,1,2).解：考虑以(2,1,2)为解的方程1122330kxkxkx，那么1232(1)20kkk.（3分）把它看成123,,kkk的方程。得到基础解系(1,2,0),(1,0,1)..………....…………（7分）由此得到方程组1213200xxxx它以(2,1,2)为基础解系。.………....………….………....………….………..（10分）六.（15分）设数域P上的3维空间V的线性变换A在基123,,下的矩阵为第3页（共4页）141150140.求线性变换212AAA在基123,,下的矩阵。解：线性变换21sss---在基123,,aaa下的矩阵为211411411411501502150140140140..………....…………（5分）由于1141045150011140101……....…………（10分）所以211411411415168150150215073631401401404281……（15分）七.（15分）设是n维欧氏空间V的一个正交变换，证明的不变子空间的正交补也是的不变子空间。证：设W是的任意一个不变子空间，1,,m为W的一组标准正交基，把它扩充成V的一组标准正交基1,,m,1,,mn,（5分）则1(,,),mWL1(,,)mnWL.（8分）由于为正交变换，所以12,,,n也是标准正交基．（10分）又由于W是的不变子空间，所以12,,,m是W的一组标准正交基，从而1,,mnW，（12分）任取11mmnnaaW,那么11()()()mmnnaaW.故W是的不变子空间．（15分）八.（15分）设是n维欧氏空间V的一个线性变换．如果关于一个标准正交基的矩阵是实对称矩阵，那么是一个对称变换．证：设关于V的一个标准正交基12,,,n的矩阵()ijAa是对称的．令第4页（共4页）1,niiix1niiiy是V的任意向量．……..………..………..…………（2分）那么11(),(),nniijjijxy……..………..………..…………（4分）111,nnnikikjjikjxay……..………..………..………....…………（6分）111,nnnkiikjjkijaxy……..………..………..………....…………（8分）11.nnjiijjiaxy……..……………..………..………..………....…………（10分）同样的计算可得11,().nnijijijaxy……..………..………..………....…………（13分）因为jiijaa，所以(),,()。即是一个对称变换。…………（15分）