8第八讲不定积分与定积分的各种计算方法

1泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第八讲不定积分与定积分的各种计算方法课时数2教学目的通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法。重点难点1不定积分的概念2不定积分的计算3定积分的计算教学提纲第八讲不定积分与定积分的各种计算方法1.不定积分1.1不定积分的概念原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。1.2不定积分的计算(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法(4)分部积分法2.定积分(1)基本积分法；(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数(3)利用函数的奇偶性化简定积分(4)一类定积分问题2教学过程与内容教学后记3第八讲不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分1不定积分的概念原函数：若在区间上)()(xfxF，则称)(xF是的一个原函数.原函数的个数:若是在区间上的一个原函数,则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有.可见，若，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性:连续函数必有原函数.不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作dxxf)(一个重要的原函数：若)(xf在区间上连续，Ia，则xadttf)(是的一个原函数。2不定积分的计算(1)裂项积分法例1：dxxxdxxxdxxx)121(12111222424Cxxxarctan233。例2：dxxxdxxxxxxxdx)sec(cscsincossincossincos22222222例3：222222(1)(1)(1)dxxxdxxxxx221arctan1dxdxxCxxx(2)第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos2xdx，如果凑上一个常数因子2，使成为11cos2cos2cos2222xdxxxdxxdxCx2sin214例4：23222arctan111dxdxdxxCxxxx例5：2222111111111dxddxxxxxxx22111211dxx1222111112dxx12221112112CCxx例6：dtttxdxxdxxxxxt21arctan21arctan2)1(arctancxarctgcarctgttdt22)()()(arctanarctan2.(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下：被积函数包含nbax,处理方法是令)(1,btaxtbaxnn;被积函数包含)0(22axa,处理方法是令txtxcossin或;被积函数包含)0(22axa,处理方法是令txtan;被积函数包含)0(22aax,处理方法是令txsec;例7：计算220axdxa【解】令sin,,arcsin,22xxatttaxaa则，且22coscos,cos,axatatdxatdt从而22axdx=222cos.coscos1cos22aatatdtatdttdt=2221sin2sincos2222aaattCtttC5由图2.1知22sincosxaxttaa所以22axdx=2222arcsin22axaxaxCaaa=222arcsin22axxaxCa例8:tdtdtttdttxxdxxt16)1(6162326cxxx6361ln216.(4)分部积分法当积分)()(xdgxf不好计算,但)()(xdfxg容易计算时,使用分部积分公式:)()()()()()(xdfxgxgxfxdgxf.常见能使用分部积分法的类型:(1)dxexxn,xdxxnsin,xdxxncos等,方法是把xxexcos,sin,移到d后面,分部积分的目的是降低x的次数(2)xdxxmnln,xdxxmnarcsin,xdxxmnarctan等,方法是把nx移到d后面,分部几分的目的是化去xxxarctan,arcsin,ln.例9:2222xxxxxedxxdexeexdx2222()xxxxxexdxxexeedx2(22)xexxC例10:2ln111lnlnlnxdxxdxdxxxxx211ln(ln1)dxxxCxxx例11:23(16)arctanarctan(2)xxdxxdxx33222arctan1xxxxxdxx6322arctan21xxxxxdxx32212arctanln12xxxxxC例12:xdxxxxxdxdx22sinsincossincoscos=xdxxxx2cossincos，解得cxxxdx2sin412cos2.例13:xdxxxdx23secsecsecxtgxdxtgxxtgxxdtgxsecsecsec=xdxxdxxtgxxdxxxtgxsecsecsecsec)1(secsec32=xdxtgxxxtgx3sec|sec|lnsec,解得xdx3secctgxxxtgx|sec|ln21sec21.【点评】以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧例14设函数)(xf的一个原函数是,sinxx求dxxfx)(。【解】2sincossin)(xxxxxxxfcxxxxxxxdxxfxxfxfxddxxfxsinsincos)()())(()(2cxxxsin2cos【点评】本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法.例15计算dxxxex23)1(2arctan【说明】涉及到xxarctan,arcsin的积分一般有两种处理方法.(1)用分部积分法;(2)作变量替换令txtxarctanarcsin或【解法一】2arctan22arctan2arctan11221)1()1(21)1(2323xdexdxedxxxexxx7dxxexexxx2arctan2arctan2111111dxxeexxx23)1(112arctanarctan2……【点评】:分部积分后,后面的积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法.【解法二】令yxyxtan,arctanCyyedyyedyyyeydxxxeyyyx)cos(sin21sinsecsectan)1(322arctan23Cxxxex22arctan11121【点评】变量替换后几分的难度大大降低,dyyeysin是每种教材上都有的积分.2.定积分定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算.(1)基本积分法例16：计算330221)51(xxdx【解】令txtan，则6022602233022sin5coscossec)tan51(sec1)51(tttdttttdtxxdx8)sin2arctan(21)sin2(1)sin2(2160602tttd(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数例17：计算dxxx302【解】38)2()2(2322030dxxxdxxxdxxx8例18计算dxxx30}1,max{【解】dxxx10}1,max{=54)1(121210dxxdxx(3)利用函数的奇偶性化简定积分aaaxfdxxfxfdxxf0)()()(0)(是偶函数当是奇函数当例19计算dxxx1122)1(【解】dxxx1122)1(=dxxxdx11211121=2+0=2例20计算dxexxx11)(【解】dxexxx11)(=dxxex11dxexx111104220edxxex例21计算dxexexx4421sin【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。【解】dxexedxexedxexexxxxxx0424024421sin1sin1sin令yx，dyeyeydeyedxexeyyyyxx4020420421sin)(1)(sin1sindxexdyeyxy4024021sin1sin所以18sin1sin1sin1sin402042402442xdxdxexedxexedxexexxxxxx9(4)一类定积分问题例22：已知)(xf是连续函数，102)(23)(dxxfxxf，求)(xf【分析】本题的解题关键是理解定积分是一个固定的常数。【解】令10,)(则AdxxfAxxf23)(2，101023121)23()(AAdxAxdxxfA所以323)(2xxf