9.3.2三重积分在直角坐标系下的计算在空间直角坐标系中,如果分别用平行于三个坐标面的平面族(a、b、c为常数)去分割空间区域,则除边界上可能出现不规则的子域外,其余的子域都是长方体,取一个代表性子域,其相邻三棱分别为,则的体积元素为三重积分可化为三次积分进行计算,计算的关键还是定限。如果平行坐标轴oz且穿过的直线与边界的交点不超过两个,那么它的定限步骤如下:(1)将空间闭区域投影到xoy平面上,得到在xoy平面上的一个平面闭区域D;(2)在D上任取一点作平行于z轴的直线,与边界曲面交点的竖坐标和且假定,显然,(如右图)那么,有(1)在对z积分时,把x、y看成常数,积出后再在D上计算二重积分。对于二重积分在平面直角坐标系中的定限法前面已作介绍,因此由公式(1)和二重积分化为累次积分的公式,就可以把三重积分化为累次积分进行计算。三重积分也可以先积y或先积x,这时需要先把空间区域分别投影到xz平面或yz平面上,得到投影区域D,在D上任取一点作平行于y轴或x轴的直线,在与的边界曲面相交不多于两点的条件下,就可仿照上面的定限法,得到与公式(1)相类似的公式。例1:计算三重积分,其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。解:作闭区域如下右图所示。将投影到面上,得投影区域为三角形闭区域.直线、及的方程依次为、及,所以D可用不等式来表示。在内任取一点(x,y),过此点作平行于轴的直线,该直线通过平面穿入内,然后通过平面穿出外。于是,由公式(1)得