95多项式的因式分解提公因式法(市级公开课教案)

1§9.5《多项式的因式分解——提公因式法》（市级公开课教案）开课教师：虞兴峰开课时间：2014.3.27开课班级：初一（2）班开课级别:溧阳市级【教学目标】1.知道因式分解的意义和提公因式法的概念.2.能用提取公因式法对一个多项式进行分解因式（指数是正整数）.3.经历通过单项式乘多项式探索提取公因式法因式分解的过程,体会单项式乘多项式与提取公因式之间的联系,发展逆向思维的能力，渗透类比和整体代换的数学思想方法.【教学重点】因式分解的概念，用提公因式法分解因式.【教学难点】认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题.【教学准备】投影仪、PPT课件、随堂练习纸.【教学过程设计】:一、创设情境：同学们，前面我们已经学习了整式的乘法运算，本节课开始我们将通过对整式乘法的再认识，共同学习新的数学知识。观察分析：根据单项式乘多项式的乘法法则:a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad①反过来，就得到ab＋ac＋ad=a（b＋c＋d）②这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积.思考:（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？（说明:①式是单项式乘多项式,其依据是乘法分配律,运算结果是一个多项式,和的形式;②式是①式的相反过程,与①式是互逆变形关系,②式的变形依据是乘法分配律的逆用,变形的结果是积的形式,我们把一个多项式的这种变形叫多项式的因式分解.板书课题§9.5多项式的因式分解）（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3吗？（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？（设计意图：通过创设问题情境,激发学生学习兴趣，从数式类比的角度,让学生感受分解因式在解决相关问题中的作用和因式分解的必要性,让学生去理解所学数学知识之间的内在联系,并为探索学习提公因式法把多项式分解因式作好铺垫，从而自然引出课题导入新课学习。）二、探究新知：（一）认识公因式:1、概念1.多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式.22、请同学们指出下列多项式的公因式，并填写下表．多项式公因式4x＋4y48x+12y48ax+12ay4a8a3bx+12a2b2y4a2b提问：根据上面的填表的过程，你能归纳出找一个多项式各项公因式的方法吗？根据学生的回答总结归纳出找一个多项式各项公因式的方法：一看系数：当一个多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数.二看字母：公因式的字母应取各项都含有的相同字母.三看指数：相同字母的指数，取次数最低的.3、小结:（教师讲解并板书）一个多项式各项的公因式常常不止一个.通常,当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母应取各相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.即把一个多项式的各项系数的最大公约数与各项相同字母（或因式）的最低次幂的乘积作为一个多项式的各项的公因式.（设计意图：鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，通过教师引导学生观察、分析、归纳,师生间的相互交流,最终得到一个多项式各项的公因式的确定方法.）（二）归纳多项式的因式分解概念和提公因式法的概念:（1）请同学们尝试用找公因式的方法填写下表.多项式公因式a2b＋ab2ab3x2－6x33x29abc－6a2b2＋12abc23ab（2）填空并说说你的方法.①a2b＋ab2＝ab（ba）②3x2－6x3＝3x2（x21）③9abc－6a2b2＋12abc2＝3ab（2423cabc）说明：通过填空让学生熟练掌握找一个多项式公因式的方法，并由此自然得出因式分解的定义．（3）提出因式分解的概念.概念2.像这样，把一个多项式写出几个整式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解.3（4）连一连：把下面左右两列具有相等关系的式子用线连起来.4a2b(a-2b)x2-2xy+y2(x-y)2m2-n2(m+n)(m-n)4a3b-8a2b2提问：观察上面从左到右和从右到左的过程，你能说出因式分解和整式乘法的区别与联系吗？通过学生的回答总结出因式分解和整式乘法的区别与联系.整式的乘法4a2b(a-2b)=4a3b-8a2b2因式分解区别：整式乘法：由几个整式的乘积的形式转化成一个多项式的形式.因式分解：由一个多项式的形式转化成几个整式的乘积的形式.联系：多项式的因式分解和多项式的乘法是两种相反方向的变形，它们互为逆过程.说明：通过对整式乘法和因式分解的对比，搞清两者之间的关系.（5）概念辨析:下列各式由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是？①ab＋ac＋d＝a（b＋c）＋d②a2－1＝（a＋1）（a－1）③（a＋1）（a－1）＝a2－1④8a2b3c＝2a2·2b3·2c⑤xaxaxax34412162解答：②⑤是因式分解（6）学生观察第⑤小题从左到右的变形，归纳提公因式法的概念:概念3.如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.说明：通过练习加以判别，加深对因式分解的理解．（设计意图：通过填表填空、连线讨论、概念辨析、观察归纳等数学活动,引导学生熟练寻找一个多项式各项的公因式,掌握一个多项式各项的公因式的确定方法及提取公因式后另一个因式如何确定,从而归纳多项式的因式分解概念和提公因式法的概念，为例题教学做铺垫.）（三）例题解析:例1、把下列各式分解因式（1）23105xx（2）bacbaba2223396（3）－2m3＋8m2－12m分析：对于第（1）小题，请同学们想一想多项式5x3－10x2各项的公因式是什么？你能把多项式的各项写成公因式和另一个因式乘积的形式吗？你是如何得到另一个因式的？那你现在能对这个式子进行因式分解了吗？（板书）解：（1）5x3－10x225522xxx)2(52xx4总结用提公因式法发因式分解的一般步骤.提问：根据例1第（1）小题的解答过程，你能归纳出用提公因式法分解因式的一般步骤吗？根据学生回答总结出用提公因式法分解因式的一般步骤:第一步：找出多项式中各项的公因式；第二步：把多项式的各项写成公因式和另一个因式乘积的形式；第三步：逆用单项式乘多项式法则，把多项式转化成公因式和另一个多项式的乘积的形式.说明：通过例1第（1）小题的教学，使学生知道提公因式法分解因式的概念并帮学生总结出用提公因式法分解因式的一般步骤，帮助学生巩固新知，同时教师的板书也能给学生以示范作用．解：（2）bacbaba2223396133323222babcbaaba)132(32bcaba说明：通过此例题教学,使学生掌握提取的公因式与多项式的某项相同时，那么提取公因式后该项剩下“1”，结果中的“1”不能漏写.解：（3）－2m3＋8m2－12m)1282(23mmm)62422(2mmmmm)64(22mmm说明:学生自主完成后校对答案，在解题过程中，学生可能会出现)64(22mmm和)64(22mmm．两种不同的答案，教师对这两种答案进行对比后，得出)64(22mmm是正确的答案，并总结注意点.注意点：当多项式的第一项系数为负数时，通常把“-”号作为公因式的符号写在括号外，使得括号内的第一项系数变成正数.在提出“-”号时，多项式的每项都要改变符号.学生讨论:下列多项式可以用提取公因式法分解因式吗？如果可以,你能讲出多项式各项的公因式吗？（学生口答,快速反应）①yxbyxa；②xybyxa；③xybyxa提问：请同学们想一想，公因式一定是单项式吗？总结：一个多项式的公因式可以是单项式也可以是多项式.例2、把下列各式分解因式：（1）yxbyxa23.（2）)()(abybax（3）23)(12)(6mnnm5说明：分析：第(1)小题中,这个多项式就整体而言可以分为两大项3a(x+y)和-2b(x+y)，每一项中都含（x+y）,所以可以把（x+y）看成公因式提出来,另外两小题学生独立尝试解答,教师巡视,个别辅导,校对解答过程,总结解题经验.)解：)(2)(3yxbyxa)23)((bayx（设计意图：通过例题教学，归纳提公因式法因式分解的一般步骤和注意点，要求学生在学生练习中仿照课本的规范书写格式写出过程，让学生体会公因式也可以是多项式,只要把它看成一个“字母或一个单项式”,就能运用提取公因式法进行分解因式,让学生进一步加深对多项式因式分解与整式乘法关系的理解与认识．采取教师引导，学生讨论交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结,有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课的难点.渗透了“整体法”思想.）（四）巩固练习1.练一练：把下列各式分解因式.（学生板演）①32124xx②aaba412832③yxyyx542④2)1()1(xxx（说明：学生独立完成,教师巡视,个别辅导,校对解答过程,总结解题经验.）2、练习后学生思考：（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式?（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？3、解题经验小结:（教师讲解）用提公因式法分解因式后,括号里的多项式没有公因式,括号里多项式的项数与原多项式的项数一样,提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是互逆的,两者的运算过程和结果形式是相反的,根据因式分解和整式乘法是互逆过程，可把因式分解的结果进行乘法运算，看所得的结果是否与原多项式相同,对分解因式的结果加以检验.(设计意图：通过练习即时巩固了新知，由学生独立完成，检测全体学生对知识点的掌握情况，让学生板演或借助实物投影展示多位学生有问题的解答，集体纠错，总结解题经验,提高实效．)三、随堂练习：见随堂练习纸.（设计意图：通过随堂练习，巩固所学知识、技能和方法,让学生会熟练地用提公因式法对多项式进行分解因式；并通过学生的独立实践，进一步掌握公因式的确定方法、用提公因式法对多项式进行分解因式的一般步骤以及理解多项式因式分解的概念与意义，并能运用本课所学知识、技能和方法解决相关问题,从而提高运算能力和应用能力。）四、课堂小结:提问：通过今天的学习，你学会了什么？与大家分享．1.公因式的和因式分解的概念62.找一个多项式各项公因式的方法：一看系数：当一个多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数.二看字母：公因式的字母应取各项都含有的相同字母.三看指数：相同字母的指数，取次数最低的.3.因式分解与整式乘法的联系和区别区别：整式乘法：有几个整式积的形式转化成一个多项式的形式．因式分解：有一个多项式的形式转化成几个整式的积的形式．联系：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的变形，它们互为逆过程．4.提公因式法分解因式的一般步骤:第一步：找出多项式中各项的公因式；第二步：把多项式的各项写成公因式和另一个因式乘积的形式；第三步：逆用单项式乘多项式法则，把多项式转化成公因式和另一个多项式的乘积的形式.5.用提公因式法分解因式时，我们应该注意什么呢？①如果提取的公因式与多项式的某项相同时，那么提取公因式后该项剩下“1”，结果中的“1”不能漏写.②当多项式的第一项系数为负数时，通常把“-”号作为公因式的符号写在括号外使得括号内的第一项系数变成正数.在提出“-”号时，多项式的每项都要改变符号.③公因式不仅可以是一个单项式，也可以是一个多项式.（设计意图：通过课堂小结，使学生将所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享．）五、作业布置:1、（必做题）课本P87习题9.5第1、2小题.2、（必做题）补充习题P46～47第1～7小题.3、（选做题）思考：（1）