95椭圆练习题

§9.5椭圆一、选择题1．椭圆x216＋y28＝1的离心率为()A.13B.12C.33D.22解析∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8.∴e＝ca＝22.答案D2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()．A.x281＋y272＝1B.x281＋y29＝1C.x281＋y245＝1D.x281＋y236＝1解析依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝13×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x281＋y272＝1.答案A3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()．A.32B.34C.22D.23解析先将x2＋4y2＝1化为标准方程x21＋y214＝1，则a＝1，b＝12，c＝a2－b2＝32.离心率e＝ca＝32.答案A4．设F1、F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为()．A．1B.83C．22D.263解析由题意知，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆x24＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组x2＋y2＝3，x24＋y2＝1，得点P的横坐标为263.答案D5.椭圆的中心为点(10)E，，它的一个焦点为(30)F，，相应于焦点F的准线方程为72x，则这个椭圆的方程是（）A．222(1)21213xyB．222(1)21213xyC．22(1)15xyD．22(1)15xy答案D6．若P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的一点，且PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率为()．A.53B.23C.13D.12解析在Rt△PF1F2中，设|PF2|＝1，则|PF2|＝2.|F1F2|＝5，∴e＝2c2a＝53.答案A7．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.3－12B.5－12C.1＋54D.3＋14解析根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.答案B二、填空题8．设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．解析由题意知|OM|＝12|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.答案49．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于________．解析如图所示，设A，B是椭圆的两个焦点，P是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，△PAB是一个直角三角形，且∠BAP＝30°，所以AP＝ABcos30°＝3c，BP＝c，根据椭圆定义AP＋BP＝2a，故3c＋c＝2a，所以e＝ca＝23＋1＝3－1.答案3－110．若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析由题可设斜率存在的切线的方程为y－12＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由|－2k＋1|4k2＋4＝1，解得k＝－34，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A35，45，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为x25＋y24＝1.答案x25＋y24＝111．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①将y2＝b2－b2a2x2代入①式解得x2＝c2－a2a2c2，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝ca∈33，22.答案33，2212.椭圆31222yx=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍．解析不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±23），即|PF2|=23，|PF1|=2147，因此|PF1|=7|PF2|.答案7三、解答题13．设F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点．(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且1PF·2PF＝－54，求点P的坐标；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为原点)，求直线l斜率k的取值范围．解析(1)由题意知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)(x0，y0)，1PF＝(－3－x，－y)，2PF＝(3－x，－y)．由1PF·2PF＝－54，得x2＋y2－3＝－54.联立x2＋y2＝74，x24＋y2＝1，解得点P(1，32)．(2)可设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·120，得k234.①又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，∵∠AOB为锐角，所以OA·OB0，即x1x2＋y1y20.即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝121＋k21＋4k2＋2k(－16k1＋4k2)＋4＝44－k21＋4k20.所以－14k24.②由①②可知34k24，故k的取值范围是(－2，－32)∪(32，2)．14．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．解析(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得xP＝x，yP＝54y，∵P在圆上，∴x2＋54y2＝25，即C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x－225＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝3－412，x2＝3＋412.∴线段AB的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415.15．设A，B分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右顶点，1，32为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．解析(1)依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，设椭圆方程为x24c2＋y23c2＝1，将1，32代入，得c2＝1，故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)证明由(1)，知A(－2,0)，B(2,0)，设M(x0，y0)，则－2＜x0＜2，y20＝34(4－x20)，由P，A，M三点共线，得x＝6y0x0＋2，BM→＝(x0－2，y0)，BP→＝2，6y0x0＋2，BM→·BP→＝2x0－4＋6y20x0＋2＝52(2－x0)＞0，即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．16．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点M1，32.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA→·PB→＝PM→2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．解析(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k21)x2－8k1(2k1－1)x＋16k21－16k1－8＝0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k21)(16k21－16k1－8)＝32(6k1＋3)＞0，所以k1＞－12.又x1＋x2＝8k1k1－3＋4k21，x1x2＝16k21－16k1－83＋4k21，因为PA→·PB→＝PM→2，即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝54，所以(x1－2)·(x2－2)(1＋k21)＝|PM|2＝54.即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k21)＝54.所以16k21－16k1－83＋4k21－2·8k1k1－3＋4k21＋4(1＋k21)＝4＋4k213＋4k21＝54，解得k1＝±12.因为k1＞－12，所以k1＝12.于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝12x.【点评】解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为：,第一步：假设结论成立.,第二步：以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾，即否定假设.,第四步：回顾检验本题若忽略Δ＞0这一隐含条件，结果会造成两解.