9届初中华杯赛试题及详解

第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛初一组一试试题及解答1．下面的等式成立：1110110110010099433221xxxxxxxxxxxx，求10110021,,,,xxxx的值解：由已知：10199531xxxxx，10098642xxxxx。又1001xx，所以10110099321xxxxxx。因此，110110099321xxxxxx或110110099321xxxxxx2．滚柱轴承（如图），外圈大圆是外轴瓦，内圈小圆是内轴瓦，中间是滚柱。内轴瓦固定，转动时没有相对滑动。若外轴瓦的直径是内轴瓦的直径的1.5倍，当外轴瓦转动一周时，滚柱自转了几周？解。滚柱的半径=2rR，其中R是外轴瓦的半径，r是内轴瓦的半径。外轴瓦转动一周，它上面的每一个点的运动路程为R2，由于没有滑动，滚柱上的每一个点相对于小球求心的运动路程也是R2，滚柱自转一周，它上面的点的路程是)(rR，所以，滚柱自转了65.0312)(2rRrRrRR（周）。3．已知zyx,,满足：)3(3.1][}{)2(2.0}{][)1(9.0}{][zyxzyxzyx其中记号：对于数a，][a表示不大于a的最大整数，][}{aaa。求zyx,,的值。解：首先注意到，.0}{,][,aaaa所以，对于任意有理数（1）＋（2）＋（3）得到6.0222zyx即3.0zyx(4)（4）－（1）得到2.1][}{zy从而1][,2.0}{zy。（4）－（2）得到1.0][}{yx从而0][,1.0}{yx，（4）－（3）得到1}{][zx因此，0}{1][zx故9.0x，2.0y，1z。4。同小学组一试第5题。5．n个数从第二个开始，每一个都比它前面相邻的一个大3：4,7,10,……,1+3n。它们相乘的积的末尾恰有32个0。求n的最小值和最大值。解。数列中各项含有因子2的个数比因子5的个数多。连乘后尾数有32个0，所以，各项中含有因子5应有32个。通过观察可知，在所给的一列数中，任意相继5项中恰有一项是5的倍数；任意相继25项中恰有一项是25的倍数；任意相继125项中恰有一项是125的倍数。考虑前125项的乘积。255125，所以，前125项中有25项是5的倍数，有5项是25的倍数，有1项是125的倍数。所以，前125项的乘积的末尾有311525个0。用ka表示级数的第k项，那么，,577385,382,379,376128127126125aaaa所以，前127项的乘积末尾有31个0，而前128项的乘积末尾有32个0。即n的最小值是128.400,397,394,391,388133132131130129aaaaa即n的最大值是132。答。，n的最小值是128，最大值是132。6．从A站到B站300千米，每30千米设一路标（如图），从早7:00货车开始发车，每隔5分钟从A站发出一辆开往B站，车速为每小时60千米；早8:30由A站发出一辆小轿车驶向B站，车速为每小时100千米。已小轿车在某两相邻路标之间（不包括路标处）追过三辆货车，问：此时小轿车已经追过多少辆货车（与小轿车同时出发的第18辆货车不计算在内）？解。设在路标k和路标k+1（k11）之间客车追上第)3(,1,2llll列三列货车。早7：00为0时刻（以分钟为单位），货车行驶30千米用30分钟，客车行驶30千米用18分钟。客车到达路标k的时刻是90+18(k-1),到达路标k+1的时刻为90+18k.客车到达路标k时，第l列货车已经驶过路标k，因此，(1))1(5)1(30)1(1890lkk当客车到达路标k+1时，第2l列货车还没有到达第k+1路标，所以，(2))3(5301890lkk由(1)和(2),107512105lk由于，k,l都是整数，所以，因此，.318,|2,512106lllk经验算，l的值为14，k=3.答。在第3和第4站之间，小轿车追过第12，13，14辆货车，此时已追过第12，13，14，15，16，17辆货车，共计6辆。