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波垂直传播到分层介质的粘弹性模拟理论平面波在周期性正常分层介质中的传播已经被研究了。一个周期由两个均质线弹性材料或粘弹性材料组成。在这里运用了一个理论，分层介质用一个“等价物”线性均质粘弹性介质来代替从而使得分层介质中的应力响应与奇数层中间面相同。这里呈现了用来绝境等价的均质粘弹性介质中弛豫函数的方法，也可以通过处理等价的均质粘弹性介质中的瞬态波来获得该分层介质中的瞬态波。有着附加函数的斯蒂尔杰斯积分被用来解决奇数或偶数层非中见面部分的情况。我们对弹性分层介质进行了数值计算，并通过射线理论得到的方法进行了比较。结果表明，在无视所选位置是否靠近或远离冲击结束的情况下，目前的理论已经能够很好的预测出分层介质中任意位置的瞬态响应。简介波在分层介质中的传播已经被许多人研究过，尤其是最近的十年。各种各样的近似理论被用来预测分层介质中的动态响应。其中一些近似理论则是由Sun,Achenbach,andHerrmann提出的刚度理论，Sun,Achenbach,andHerrmann提出的混合理论以及Hegemier和他的同事提出的相互作用连续理论。许多近似理论都可以根据正弦摆动很好的预测出频率方程以及色散关系，还有一些可以通过加载在边界上的阶跃应力来预测出后期瞬态波的渐近线。对于后者，可以用来预测后期的渐近解和波阵面。没有可靠的方法来很好的预测出既不靠近又不远离撞击的区域的瞬态响应。对于有限分层介质的瞬态波也是如此。从实用的观点出发，我们推荐一个能够解决这个问题的理论。尽管为了简单我们在这里选择了半无限分层介质，但是这个理论是可以用于有限分层介质的。这个理论的基本原理就是用一个等价的均质线性粘弹性介质来代替这个分层介质（因此叫做粘弹性模拟理论），在奇数层的中间面上它们的动态响应是完全一样的。因为在均质线性粘弹性介质中波的传播可以很容易的求解，因此我们可以解决半无限和有限分层介质中瞬态波的传播问题。而除了奇数层中间面的其它部分则可以通过有着附加函数的斯蒂尔杰斯积分来求解。图1.分层介质的几何模型Barker提出了一种Maxwell体的粘性模型用来解决分层介质中的应力波传播。介质中的色散效果可以通过模型的粘度来算出。这个模型能够很好的预测整个的瞬态波，但却忽略了在介质中普遍存在的应力波的振荡特性。Christensen在Barker方法和电介质理论的推动下提出，如果是关于均质粘弹性介质的复合材料并且波长足够长，那么这个介质的弛豫函数就是关于时间的振荡函数。事实证明，这里的均质粘弹性弛豫函数满足这个理论。该指出的是，这里使用的方法不同于Barker和Christensen。这里的分析不需要长波假设，分层介质的组成材料可以为弹性或粘弹性。而且，在分层介质和均质粘弹性介质间的模拟在数学上是正确的。但是，根据拉普拉斯变换，决定这个等价的均质粘弹性弛豫函数时是需要近似的。如果能够将拉普拉斯变换准确的转化为等价的均质粘弹性弛豫函数，那么对于均质粘弹性介质的解决方法就和改分层介质的奇数层中间面的情况相同了。基本方程我们考虑图1中的分层介质，每个周期2ω都是由两层均质各向同性线性的弹性或粘弹性材料组成。这两个不同的材料分别用材料1和材料2来表示。因此材料1占据的层为1,3,5……，材料2占据的层为2,4,6……。每个层的厚度标记为2ℎ𝑖（i=1,2），这里的下标1和2分别代表材料1和2.在这里我们考虑的情况是平面波垂直传播到分层上。第一层的中间面标为x=0，并且正压力作用在x=0处。因此有一维平面波传播的运动方程和位移连续方程，∂𝜎𝑖∂x=𝜌𝑖𝑣𝑖̇,（i=1,2）(1)∂𝑣𝑖∂x=𝜖𝑖̇,（i=1,2）(2)这里的点代表关于时间t的微分，这里的𝜎𝑖，𝜖𝑖，𝜖𝑖，𝜌𝑖（i=1,2）分别代表正压力，正应力，粒子速度和质量密度。让𝜆𝑖(𝑡)和𝜇𝑖(𝑡)作为材料的弛豫函数。对于弹性材料，𝜆𝑖(𝑡)和𝜇𝑖(𝑡)是与t无关的并且为拉美常量。应力应变关系可以用斯蒂尔杰斯积分的形式写为：𝜎𝑖(𝑥,𝑡)=∫𝑔𝑖(𝑡−𝑡′)𝑑𝜖𝑖(𝑥,𝑡′)𝑡0−(3)𝑔𝑖(𝑡)=𝜆𝑖(𝑡)+2𝜇𝑖(𝑡)(4)这里我们假设：𝜎𝑖(𝑥,0−)=𝑣𝑖(𝑥,0−)=𝜖𝑖(𝑥,0−)=0(5)施加在x=0位置处的应力为：𝜎1(0,𝑡)=𝐴1(𝑡)(6)Laplace变换和Floquet理论我们准备使用Laplace变换来求解方程（1）到（6）的问题，𝑓(𝑝)=∫𝑓(𝑡)𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡∞0−(7)那么方程（1）到（6）变为：∂𝜎𝑖∂x=𝜌𝑖𝑝𝑣𝑖(8)∂𝑣𝑖∂x=𝑝𝜖𝑖(9)𝜎𝑖=𝑝𝑔𝑖𝜖𝑖(10)𝜎1(0,𝑝)=𝐴1(𝑝)(11)对于分层1和2，方程（8）到（11）可以写为：𝜎1(x,p)=𝐴1cosh(𝑘1𝑥)+𝐵1sinh(𝑘1𝑥)(12a)𝜎2(x,p)=𝐴2cosh(𝑘2𝑥−𝑘2𝜔)+𝐵2sinh(𝑘2𝑥−𝑘2𝜔)(12b)𝑣1(𝑥,𝑝)=𝑘1𝜌1𝑝{𝐴1sinh(𝑘1𝑥)+𝐵1cosh(𝑘1𝑥)}(12c)𝑣2(𝑥,𝑝)=𝑘2𝜌2𝑝{𝐴2sinh(𝑘2𝑥−𝑘2𝜔)+𝐵2cosh(𝑘2𝑥−𝑘2𝜔)}(12d)其中，ω=ℎ1+ℎ2(13)𝑘𝑖=√𝜌𝑖𝑝𝑔𝑖(i=1,2)(14)并且𝐴2，𝐵1，𝐵2是关于p的函数，下面会定义p。根据应力和速度在x=ℎ1处的连续性，有：𝑢1(ℎ1,𝑝)=𝑢2(ℎ1,𝑝)(15)这里的u可以为σ或v。因为方程（8）到（11）是有着周期性系数的微分方程，因此根据Floquet理论我们有，𝑢𝑖(𝑥,𝑝)=𝑃𝑖(𝑥,𝑝)𝑒−𝑘𝑥(16)这里的𝑃𝑖为x上的频率为2ω的周期性系数，k是特征指数，因此，如果n是一个整数，那么有：𝑢𝑖(2𝑛𝜔+𝑥,𝑝)=𝑢𝑖(𝑥,𝑝)𝑒−2𝑛𝜔𝑥(17)当i=1，n=1，x=−ℎ1时，我们有：𝑢1(2𝜔−ℎ1,𝑝)=𝑢1(−ℎ1,𝑝)𝑒2𝜔ℎ1(18)考虑在x=2𝜔−ℎ1处的连续性有，𝑢2(2𝜔−ℎ1,𝑝)=𝑢1(−ℎ1,𝑝)𝑒2𝜔ℎ1(19)将（15）和（19）带入到σ和v,并利用方程（12），有，𝐴1𝒞1+𝐵1𝒮1=𝐴2𝒞2−𝐵2𝒮2𝐴1𝒮1+𝐵1𝒞1=𝛼{−𝐴2𝒮2+𝐵2𝒞2}𝐴1𝒞1−𝐵1𝒮1=𝑒2𝜔𝑘{𝐴2𝒞2+𝐵2𝒮2}(20)−𝐴1𝒮1+𝐵1𝒞1=𝛼𝑒2𝜔𝑘{𝐴2𝒮2+𝐵2𝒞2}其中，𝒞𝑖=cosh(𝑘𝑖ℎ𝑖)，𝒮𝑖=sinh(𝑘𝑖ℎ𝑖)，(i=1,2)(21)α=𝜌1𝑘2𝜌2𝑘1=√𝜌1𝑔1√𝜌2𝑔2(22)方程（20）给出了对𝐴2，𝐵1，𝐵2的求解方法，𝐴2𝐴1=p𝑀𝑒−𝜔𝑘，𝐵2𝐴1=−p𝑁𝑒−𝜔𝑘𝐵1𝐴1=−𝑝𝐿1，𝐵2𝐴2=−𝑝𝐿2(23)其中，p𝑀=𝛼𝒞1𝒞2+𝒮1𝒮2𝛼cosh(𝜔𝑘)=cosh(𝜔𝑘)𝒞1𝒞2+𝛼𝒮1𝒮2p𝑁=𝛼𝒞1𝒮2+𝒮1𝒞2𝛼sinh(𝜔𝑘)=sinh(𝜔𝑘)𝒞1𝒮2+𝛼𝒮1𝒞2p𝐿1=𝛼𝑝2𝑀𝑁，p𝐿2=𝑁𝑀⁄(24)接下来是关于k的特征方程，cosh2(𝜔𝑘)=𝜃cosh2(𝑘1ℎ1+𝑘2ℎ2)−(𝜃−1)cosh2(𝑘1ℎ1−𝑘2ℎ2)(25𝑎)sinh2(𝜔𝑘)=𝜃sinh2(𝑘1ℎ1+𝑘2ℎ2)−(𝜃−1)sinh2(𝑘1ℎ1−𝑘2ℎ2)(25𝑏)cosh(2𝜔𝑘)=𝜃cosh(2𝑘1ℎ1+2𝑘2ℎ2)−(𝜃−1)cosh(2𝑘1ℎ1−2𝑘2ℎ2)(25𝑐)cosh(2𝜔𝑘)=cosh(2𝑘1ℎ1)cosh(2𝑘2ℎ2)+(2𝜃−1)sinh(2𝑘1ℎ1)sinh(2𝑘2ℎ2)(25𝑑)θ=(1+𝛼)24𝛼(26)方程（25d）是使用最多的，尽管（25c）在处理大p和小p时的k(𝑝)更方便，根据方程（23）给出的𝐴2，𝐵1，𝐵2以及（25）给出的k，方程（12）给出了前两层应力和速度的解法。对于其它层的应力和速度，可以使用方程（17）。因此，我们把（17）应用到x=0处的𝜎1时有，𝜎1(2𝑛𝜔,𝑝)=𝐴1𝑒−2𝑛𝜔𝑘，(n=0,1,2…)(27)这里可以联系到方程（12a）。在我们介绍粘弹性模拟理论去决定𝜎1，𝜎2之前，我们将先讨论由（22）（26）给出的α和θ的数值它们与分层介质中的不连续传播有关。不连续传播当分层介质是弹性材料时，正如方程（22）所定义的那样，α是个常量并且代表着同一层中两种材料的弹性阻抗的比值。同样的，正如（26）中所定义的，θ也是个常量，𝜃−1代表当应力通过一个单元层时不连续波的透射系数。对于粘弹性分层介质，α和θ的数值取决于p，当p→∞（与t→0相一致）时有些物理意义。我们让，𝑔𝑖0=𝑔𝑖(0)，𝑐𝑖0=√𝑔𝑖0𝜌𝑖⁄(28)𝛼0=𝜌1𝑐10𝜌2𝑐20，𝜃0=(1+𝛼0)24𝛼0𝜃1,2=12(1+𝛼0)，𝜃2,1=12(1+1𝛼0)(29)那么有，𝜃1,2𝜃2,1⁄=𝛼0，𝜃1,2𝜃2,1=𝜃0(30)正如图2所显示的那样，我们来考虑应力波沿着x-t图中路径𝑏′𝑑的不连续传播，在材料1和2的接触面上，波会发生透射和反射。我们将e和d之间的应力标记为，[𝜎]𝑒𝑑=𝜎𝑒−𝜎𝑑(31)那么它可以表示为，[𝜎]𝑓′𝑑′=1𝜃1,2[𝜎]𝑒𝑑(32𝑎)[𝜎]𝑓𝑒=(1𝜃1,2−1)[𝜎]𝑒𝑑(32b)同样的，在下一个接触面有，[𝜎]𝑛′𝑔′=1𝜃2,1[𝜎]𝑚𝑔(32𝑐)[𝜎]𝑛𝑚=(1𝜃2,1−1)[𝜎]𝑚𝑔(32d)[𝜎]𝑚𝑔和[𝜎]𝑓′𝑑′的关系（也可见方程（61））如下，[𝜎]𝑚𝑔=[𝜎]𝑓′𝑑′exp(−2𝛾2ℎ2)(33)𝛾𝑖=−𝑔̇𝑖02𝑐𝑖0𝑔𝑖0，𝑔̇𝑖0=𝑔̇𝑖(0)，i=(1,2)(34)因此，根据方程（32c）（33）（32a）以及类似于方程（33）的关于[𝜎]𝑒𝑑和[𝜎]𝑎′𝑏′之间关系的方程，我们可以得到，[𝜎]𝑛′𝑔′=𝜃0−1𝑒−2𝛽[𝜎]𝑎′𝑏′(35)β=𝛾1ℎ1+𝛾2ℎ2(36)对于大部分的粘弹性介质，𝑔̇𝑖00，因此𝛾𝑖和β是正数。如果材料1和2是弹性材料，那么𝑔̇10=𝑔̇20=𝛽=0，有：[𝜎]𝑛′𝑔′=𝜃0−1[𝜎]𝑎′𝑏′(37)对𝜎1(2𝑛𝜔,𝑡)的粘弹性模拟用半无限均质各向同性线性粘弹性介质来代替图1中的周期性分层介质，它存在于x≥0位置处，在t=0−时时静止的，在x=0处受到同样的载荷应力。让Φ，η和V分别代表正压力，正应力，粒子速度。让ρ和G作为等价质量密度和等价的弛豫函数。运动方程、连续性条件,应力-应变关系,初始和边界条件为（可见方程（1）-（6）），𝜕Φ𝜕𝑥=𝜌𝑉̇(38𝑎)𝜕V𝜕𝑥=𝜂̇(38𝑏)Φ(𝑥,𝑡)=∫𝐺(𝑡−𝑡′)𝑡0−𝑑𝜂(𝑥,𝑡′)(38𝑐)Φ(𝑥,0−)=η(𝑥,0−)=V(𝑥,0−)=0(39𝑎)Φ(0,𝑡)=𝐴1(𝑡)(39𝑏)对方程（38）-（39）应用Laplace变换，有，Φ(𝑥,𝑝)=𝐴1𝑒𝑥𝑝(−√𝜌𝑝𝐺⁄𝑥)(40)通过比较（40）和（27），我们发现，如果我们定义，k=√𝜌𝑝𝐺⁄(