A空间直角坐标系和方向.

空间解析几何湖南大学数学与计量经济学院几何学是从丈量土地,测量容积和制造器皿等生产实践活动中产生和总结出来的.----恩格斯几何学在希腊人的手中成为数学的第一个分支并趋于成熟.----阿蒂亚历史上，几何学在很长的一段时间里面是一门高度理论化的学科,在若干世纪里,欧几里德几何控制着数学的舞台.后来，到了文艺复兴时期，代数学从阿拉伯传到欧洲以后，数学家笛卡尔和费尔玛受代数学的启发，有了用代数的方法来研究几何的思想，从而产生了解析几何.借助坐标系，把空间的几何结构，几何对象代数化。解析几何的基本目的：把代数运算引入到几何研究中来，从而把几何学的研究从原先的定性的层面推广到可以进行定量研究的层面.怎么样做到这一点：什么叫几何结构,几何对象代数化：把空间中的点和有序数组之间建立对应关系，把空间中几何图形，如直线，平面等和方程以及方程组建立对应关系。这就叫做几何结构，几何对象的代数化。课程教材《解析几何简明教程》吴光磊田畴编目录：•空间直角坐标、平面和直线•向量代数•二次曲面•正交变换和仿射变换•二次曲线的一般理论第一章空间直角坐标、平面和直线§1:空间直角坐标ZYX0空间直角坐标系[O;X,Y,Z]思考题：空间中能不能找到两两互相垂直的四条直线？八个卦限zyx01.空间直角坐标系坐标平面平面yz八个卦限zyx0.1.空间直角坐标系坐标平面平面xy坐标平面zyxⅡⅢⅠⅣⅤⅥⅧ0.1.空间直角坐标系平面xz八个卦限平面yz平面xy．规定垂直于坐标平面的坐标轴所指的方向为坐标平面的正面；另一部分为负面。规定坐标平面上的点到坐标平面正面的距离为正，负面的距离为负。坐标平面正面上的点到坐标平面的距离为正。ZYOX点到坐标平面的距离QP正面负面空间中点的代数化空间中一点P点的坐标（x,y,z）:其中x,y,z是三个实数，分别代表P与坐标平面YZ,ZX,XY的距离.ZOP1YXP’Pyxyz有序数组（x,y,z）x坐标系中的点和一个三元有序数组之间就建立了一个一一对应的关系。记坐标是的点为（x,y,z）(Px,y,z).P坐标折线：确定坐标为（x,y,z）的点的位置.'1OPPP点P与坐标原点O的距离:(,,)Pxyz．xyzXYZO'P1P222xyz||OPP,,xyz到轴的距离:22yz22xz22xyx轴y轴z轴||OP给定一个空间直角坐标系，把右手按照从轴到轴转动的方向握起来，如果大拇指所指的方向为轴的方向，则这个直角坐标系就是右手系，否则就是左手系.xyz右手系右手系左手系OxyzOxyzOxyz在以后的讨论中，我们假定所有的坐标系都是右手系.坐标系的分类——右手系和左手系2:坐标系的平移坐标轴的方向不变而坐标原点改变.0PXZYP0'XOX’Y’Z’变化规律'0xxx'0yyy'0zzz设点P在坐标系[O;X,Y,Z]和坐标系[P0;X’,Y’,Z’]中的坐标依次为和。'''(,,)xyz(,,)xyz新坐标等于旧坐标减去新原点的旧坐标。0x0y0zxyzP'z'y'xZYX0(Px,y,z)0(P000x,y,z)坐标系内两点间的距离'Z'X'Y两点,间的距离，从坐标系中看.就是点与原点的距离，设点在坐标系中的坐标为，所以转换到坐标系中去，就得到坐标系内两点间的距离'''(,,)xyz(Px,y,z)0(P000x,y,z)'''0[;,,]PXYZP0PP''0[;,,PXY']Z'2'2'20||PPxyz[;,,]OXYZ222000()()()xxyyzz0||PP例1:在X轴上找一点P,使得它与点P0(4,1,2)的距离为.解：要找的点P在X轴上，所以它的坐标可设为（x,0,0）.又因为|P0P|=，即|P0P|=，x=9,-1.所以要找的点是（9，0，0）或（-1，0，0）.30222(4)1230,x2(4)25x30例2对于固定的坐标系，当线段平行移动时，端点的坐标差保持不变.ZYX0P§2:怎样表示方向1:用射线表示方向.．O3:方向如何代数化？2:平行移动不改变方向不变.在坐标系[O,X,Y,Z]中,用从原点出发的射线来表示方向.原点以外的任何一点P，都表示一个方向，即从原点到的方向，此时的坐标(x,y,z)就叫做这个方向的一组方向数.射线上其他的点也都表示同一个方向，他们的坐标也是这个方向的一组方向数.．．1：方向数（方向的代数化）注1：一个方向的方向数不是唯一的，相差一个正数乘子.注2：在空间中从点到点的方向数为：2222(,,)Pxyz212121(,,)xxyyzz1111(,,)Pxyz．1111(,,)Pxyz2222(,,)Pxyz．OXYZOPPOPP'P．方向角的余弦称为方向余弦，它表示等于时的方向数，即距离原点为1的点的方向数,因此一个方向的方向余弦是唯一确定的.并且方向余弦的平方和是1:2方向余弦PXYZO222coscoscos射线与坐标轴依次形成三个角这三个角确定了从到的方向，叫做这个方向的方向角.设的坐标为，则OP,,OXOYOZOPP(,,)xyz,,.||cos,||cos,||cos.xOPyOPzOP||1OP这也是一组方向余弦或者方向角所必须满足的条件。例：是某一个方向的方向余弦，其方向角是而不是任何方向的方向余弦.22(0,,)22123(,,)222对于点所表示的方向，有一组方向数为，那么方向余弦为(,,)Pxyz(,,)xyz222222222cos,||cos,||cos.||xxOPxyzyyOPxyzzzOPxyz3(,,)2441:求下列方向的方向余弦(1,2,-2),(0,2,-2).12222(,,-),(0,,-)33322:方向余弦为125P(-,-,-),303030P30P2:设点所表示的方向的方向余弦为到原点的距离为,求点的坐标.P(-1,-2,-5)的坐标为:3:求下列方向的方向角31(0,0,-1),(,,0),(-2,-1,-4).22方向角为:(,,),(,,)22632214(-arccos,-arccos,-arccos).212121和3:两个方向的角度E2E1ZYXOcos.则设两个方向的方向余弦分别为:222l,m,n111l,m,n夹角为:O令为了唯一确定两个方向的夹角，我们规定:由两点间的距离公式，有22()()212121llmmnncos.121212ll+mm+nn所以E2E1ZYXO0:两个方向垂直的条件coscos0.2121212ll+mm+nn3:求下列方向之间的夹角(1,0,1)(0,0,1);和:两个方向余弦分别为11(,0,)(0,0,1);22和:设两个方向的夹角为111cos0001222:4所以(1,2,-2)(-1,0,-1)练习：求点到点的方向的方向数，方向余弦和两点之间的距离。(-2,-2,1)221(-,-,)3333解：方向数为：所以方向余弦是：二者之间的距离是：作业P17:6，9(2,3),10.