AA《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练.

第1页共8页[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年唐山模拟)已知双曲线的渐近线方程为y＝±3x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.x28－y224＝1B.x212－y214＝1C.x224－y28＝1D.x24－y212＝1解析：双曲线的渐近线方程为y＝±3x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－y23＝λ(λ≠0)，即x2λ－y23λ＝1，则a2＝λ，b2＝3λ.∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为x24－y212＝1.答案：D2．(2013年淮南模拟)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为()A.－22，0B.－52，0C.－62，0D.()－3，0解析：双曲线方程可化为x2－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，c＝62，∴左焦点坐标为－62，0.第2页共8页答案：C3．(2013年潍坊质检)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为()A．4B．2C．3D．6解析：由题易知，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，点M的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：A4．(2013年青岛模拟)设F1，F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1→·PF2→＝0，则|PF1→＋PF2→|＝()A.10B．210C.5D．25解析：如图，由PF1→·PF2→＝0可得PF1→⊥PF2→，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF1QF2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF1→＋PF2→|＝|PQ→|＝2c＝210，所以选B.答案：B5．(2013年银川联考)已知A，B，P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上不同的三个点，且A，B的连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率的乘积kPA·kPB＝23，则该双曲线的离心率为()A.52B.62C.2D.153第3页共8页解析：因为A，B的连线经过坐标原点，所以A、B关于原点对称，设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，由A，B，P在双曲线上得x20a2－y20b2＝1，x21a2－y21b2＝1，两式相减并且变形得y20－y21x20－x21＝b2a2.又kPA·kPB＝y0－y1x0－x1·y0＋y1x0＋x1＝y20－y21x20－x21＝b2a2＝23，即c2－a2a2＝e2－1＝23，故双曲线的离心率e＝153.答案：D二、填空题6．(2013年宁波模拟)双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是________．解析：依题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：y＝±x7．(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：建立关于m的方程求解．∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝c2a2＝m＋m2＋4m＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.答案：28．(2013年岳阳模拟)直线x＝2与双曲线C：x24－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点，记OE1→＝e1，OE2→＝e2，任取双曲线C上的点P，若OP→＝ae1＋be2，则实数a和b满足的一个等式是________________．解析：该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系、向量线性表示及坐标运算．可先求出e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，设P(x0，y0)，则2a＋2b＝x0a－b＝y0，∴(a＋b)2－(a－b)2＝1，∴ab＝14，答案：ab＝14第4页共8页9．(2013年合肥检测)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率是2，则b2＋13a的最小值为________．解析：由双曲线的离心率e＝2得，ca＝2，从而b＝3a0，所以b2＋13a＝3a2＋13a＝a＋13a≥2a·13a＝213＝233，当且仅当a＝13a，即a＝33时，“＝”成立．答案：233三、解答题10．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝π3，且△PF1F2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析：设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosπ3＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.又∵S△PF1F2＝23，∴12|PF1|·|PF2|·sinπ3＝23.∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.又∵e＝ca＝2，∴a2＝23.第5页共8页∴双曲线的方程为：3x22－y22＝1.11．(2013年宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF1→·MF2→＝0；(3)求△F1MF2的面积．解析：(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)由(1)可知，在双曲线中a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)．∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，又∵点M(3，M)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3.∴kmF1·kmF2＝m3＋23×m3－23＝－m23＝－1.∴MF1⊥MF2.∴MF1→·MF2→＝0.(3)由(2)知MF1⊥MF2，∴△MF1F2为直角三角形．又F1(－23，0)，F2(23，0)，m＝±3，M(3，3)或(3，－3)，由两点间距离公式得|MF1|＝－23－32＋0－32＝24＋123，|MF2|＝23－32＋0－32＝24－123，S△F1MF2＝12|MF1||MF2|第6页共8页＝12×24＋123·24－123＝12×12＝6.即△F1MF2的面积为6.12．(能力提升)已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→2(其中O为原点)，求k的取值范围．解析：(1)设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，则a2＝4－1＝3，c2＝4，由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故C2的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得1－3k2≠0.Δ＝(－62k)2＋36(1－3k2)0，∴k2≠13且k21.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2.∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋73k2－1.又∵OA→·OB→2，得x1x2＋y1y22，∴3k2＋73k2－12，即－3k2＋93k2－10，第7页共8页解得13k23，②由①②得13k21.故k的取值范围为－1，－33∪33，1.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年贵阳模拟)已知O为平面直角坐标系的原点，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，E为OF2的中点，过双曲线左顶点A作两渐近线的平行线分别与y轴交于C、D两点，B为双曲线的右顶点，若四边形ACBD的内切圆经过点E，则双曲线的离心率为()A．2B.2C.3D.233解析：作草图，易知直线BC的方程为xa＋yb＝1，圆心O到BC的距离为11a2＋1b2＝c2，∴2ab＝c2，∴4a2(c2－a2)＝c4，两边同除以a4得：e4－4e2＋4＝0，∴(e2－2)2＝0，∴e2＝2，∴e＝2或－2(舍)，∴e＝2.答案：B2．(2013年苏州模拟)已知P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF1→·PF2→＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的第8页共8页值为________．解析：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则由△PF1F2面积为9及PF1⊥PF2可得xy＝18，x2＋y2＝4c2，故(x－y)2＝4c2－36＝4a2，又e＝54，得c＝5，a＝4，∴b＝3，∴a＋b＝7.答案：7高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库w。w-w*高考试题库