B27011028_曹西太郎_查子红_郭寅聪

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：27011028所属学校（请填写完整的全名）：西安科技大学参赛队员(打印并签名)：1.曹西太郎2.查子红3.郭寅聪指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：杨云峰（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1创意平板折叠桌摘要桌子是人们生活中的必需品，随着人们生活水平和欣赏水平的提高，对桌子的设计者提出了更高的要求。不仅要求方便实用，而且要求造型美观、大方，可折叠桌子就是其中的一美。因此对折叠桌子的相关问题进行研究是非常必要的，本文主要讨论折叠桌的折叠动态过程、最优设计加工参数和创意折叠桌的设计等问题。问题一，在长方形平板尺寸、木条宽度、钢筋固定位置、桌子高度等参数给定的条件下，折叠桌的动态变化可由各桌腿与桌面的夹角变化来描述。本文建立了合理的坐标系，使各桌腿平行于某一坐标平面，并将其投影到该坐标平面。建立了其余桌腿和桌面的夹角与最外侧桌腿和桌面夹角之间的变化关系模型，以此来描述折叠桌的动态变化过程。并由此计算出了此折叠桌的设计加工参数和桌腿木条开槽长度。为了描述桌腿边缘线，在所建的坐标系中推导出了变化过程中各桌脚边缘点的空间坐标。将这些点投影到合理的两个坐标平面上，利用spss软件对投影点进行曲线拟合，得到两个投影曲线方程组，在空间中这两个方程组所表示的柱面方程交线即为桌脚边缘线。问题二讨论了最优设计加工参数问题。在任意给定的设计要求下，平板宽度为桌面直径，给出了桌面上最短木条长度与平板长度之间的关系。同时考虑到稳固性因素，建立用材最少模型。分析了开槽长度与加工方便之间的关系，结合稳固性，建立了开槽总和与钢筋位置之间的关系模型，并给出此加工方便模型的优化模型。最后，将题目中所给数据代入相关模型中实例求解确定出最优设计加工参数。针对问题三，改变桌面形状并且给出相关数据，通过问题二中模型进行求解。确定出最优加工参数，建立动态变化方程。最后通过matlab画出动态变化示意图。关键词：动态变化最优加工参数稳固性2一．问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。试建立数学模型讨论下列问题：1.给定长方形平板尺寸为cmcmcm350120，每根木条宽cm5.2，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为cm53。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高cm70，桌面直径cm80的情形，确定最优设计加工参数。3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。试给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。二．基本假设1.假设加工时不损耗材料。2.木条之间的缝隙忽略不计。3.假设问题二中木条宽度为cm5.2。4.忽略钢筋直径对问题的影响，即将其看作一点。三．符号说明符号含义符号表示符号含义符号表示平板长度a桌腿长度im(i=1,2,…,10)平板宽度b圆桌面木条半长度ik(i=1,2,…,10)桌高h开槽长度il(i=2,3,…,10)平板厚度钢筋位置到最长桌脚边缘点距离w木条宽度e钢筋位置到铰链连接点距离ig(i=2,3,…,10)3圆桌面半径r所截木条条数取整q或5b四．问题一模型建立及求解4.1折叠桌动态变化的模型建立与求解如图1，以桌面圆心为原点，建立如图2所示空间直角坐标系。图1折叠桌展开图图2折叠桌坐标系为了确定折叠桌圆桌面上各木条半长度，只需考虑xoz平面即可，见图3。图3折叠桌面坐标示意图根据勾股定理，有：oxzrikexyzo4222)1(reirki(i=2,3,…,10)(1)其中，ik(i=2,3,…,10)为圆桌面上由外向内第i根木条半长度，r为圆桌面半径(即长方形平板宽度的一半)，e为木条宽度。代入数据，(1)式可化简为：25.1315.13725.62iiki(i=2,3,…,10)(2)由式(2)解得ik(i=2,3,…,10)长度(cm)见表1。表1圆桌面上由外向内第i根木条半长度(cm)2k3k4k5k6k7k8k9k10k10.8951517.8552021.6522.90523.8524.49524.875稳固性是折叠桌设计优劣的重要参数，通过分析，最长的四条桌腿在地面上的接触点形成正方形时桌子稳固性最好。此时，其最外端两根桌腿木条和连接桌面的木条以及两桌腿着地点的连线所围成的图形为等腰梯形，见图4。图4折叠桌在yoz面投影示意图由勾股定理，可得：21221)-()(mhkr(3)其中，1k为圆桌面上边缘木条半长度，h为桌高，为平板厚度，h为净桌高，1m为边缘桌腿长度。由式(3)解得：cmm2.531。进而有：11sinmh(4)12k1m1kr1r1k50h5其中，1为边缘桌腿与桌面夹角。由式(4)解得：03.701。根据所建的空间坐标系的特点，所有桌腿与xoy平面平行。即所有桌腿与桌面的夹角与其投影到xoy平面上的夹角保持不变。故建立折叠桌投影坐标系，见图5。图5折叠桌投影到xoy平面示意图由图5中几何关系分析，知CD为11sin2m，而)(cos212112kkmDk,则钢筋固定点C的坐标C)sin2),(cos2(111211mkkm。因此，在CDk2中，有：DkCD22tan同理，可得：)(cos2sin2tan11111kkmmii(i=2,3,…,10)(5)其中，i、im(i=2,3,…,10)分别为圆桌面上由外向内第i根桌腿与桌面夹角和圆1k2koyxAB1A1BC122g2pD6桌面上由外向内第i根桌腿长度。由式(5)解得i(i=2,3,…,10)见表2。表2最外侧桌腿与桌面夹角03.701时i(i=2,3,…,10)的值234567891072.7898.8752.9436.991037.10568.10701.10979.109由式(5)不难发现，102~随着1的变化而变化，1一经确定，102~就相继确定。由式(4)得到1最大值为03.70，又01，即03.7001。所以此折叠桌的动态变化过程即可通过给出03.70~0范围内的任意1，根据式(5)得到102~来体现。即可通过)(cos2sin2tan11111kkmmii(i=2,3,…,10)来描述此折叠桌的动态变化过程。如301时，102~的值见表3。表3最外侧桌腿与桌面夹角301时i(i=2,3,…,10)的值234567891082.3759.4558.5288.5837.6493.6855.7212.7566.764.2开槽长度的模型建立与求解由于折叠桌各条桌腿都以钢筋连接，根据前文分析，每条桌腿的投影都过C点即钢筋连接点，见图5。根据正弦定理，得钢筋位置到第2根桌腿铰链连接点距离：2112sinsin2mg(6)则钢筋位置到第i根桌腿铰链连接点距离ig(i=2,3,…,10)为：iimgsinsin211(i=2,3,…,10)(7)由式(7)解得ig(i=2,3,…,10)长度(cm)见表4。7表4钢筋位置到第i根桌腿铰链连接点距离ig(i=2,3,…,10)(cm)2g3g4g5g6g7g8g9g10g25.4925.0225.0825.3425.6625.9726.2426.4426.57接着易得钢筋位置到第2个桌脚的距离：2222gkap(8)则钢筋位置到第i个桌脚的距离ip(i=2,3,…,10)为：iiigkap2(i=2,3,…,10)(9)由式(9)解得ip(i=2,3,…,10)长度(cm)见表5。表5钢筋位置到第i个桌脚的距离ip(i=2,3,…,10)(cm)2p3p4p5p6p7p8p9p10p23.6119.9817.0714.6612.6911.139.919.068.56所以第2根桌腿木条开槽长度为：2122pml(10)则第i根桌腿木条开槽长度il(i=2,3,…,10)为：iipml21(i=2,3,…,10)(11)由式(11)解得开槽长度il(i=2,3,…,10)(cm)见表6。表6第i根桌腿木条开槽长度il(i=2,3,…,10)(cm)2l3l4l5l6l7l8l9l10l2.996.629.5311.9313.9115.4716.6917.5418.044.3桌脚边缘线的数学描述接着建立桌脚边缘线的求解模型。首先需要求出每个桌脚点的坐标，坐标系同图5。设由外向内第i个桌脚点坐标为),(iiiyxA(i=1,2,…,10)，根据三点一线斜率相等建立如下方程组：8111mAAkkCAAC(12)即：1212111)()(mxxyyxxyyxxyyAACCCACA(13)加入z轴坐标，计算结果见表7。表7桌脚边缘点坐标桌脚号坐标12345678910x24.9920.5516.6414.5913.5413.0712.9112.9112.9613.02y5048.1544.9742.0239.4837.3835.7234.4533.5833.06z2522.52017.51512.5107.552.5桌脚号坐标11121314151617181920x13.0212.9612.9112.9113.0713.5414.5916.6420.5524.99y33.0633.5834.4535.7237.3839.4842.0244.9748.1550z2.557.51012.51517.52022.525将桌脚边缘点坐标投影