abc整数奇偶性习题(含答案)

习题一1．选择题(1)若n是大于1的整数，则p=n+(n2-1)1(1)2r的值(A)一定是偶数．(B)一定是奇数．(C)是偶数但不是2．(D)可以是偶数也可以是奇数．(1985年全国初中数学联赛题)(2)设二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p，q都是奇数那么它的根一定是(A)奇数．(B)偶数．(C)分数．(D)无理数．(1983年上海市初中数学竞赛题)(3)如果n是正整数，那么18[1-(-1)n](n2-1)的值(A)一定是零．(B)一定是偶数．(C)是整数但不一定是偶数．(D)不一定是整数．(1984年全国高考题)(4)满足等式1983=1982x-1981y的一组自然数是(A)x=12785，y=12768．(B)x=12784，y=12770．(C)x=11888，y=11893．(D)x=1947，y=1945．(1983年福建省初中数学竞赛题)(5)若7个连续偶数之和为1988，则此7个数中最大的一个是(A)286．(B)288．(C)290．(D)292．(1987年全国部分省市初中数学通讯赛题)(6)已知n是偶数，m是奇数，方程组19881127xynxym的解xpyq是整数，则(A)p，q都是偶数．(B)p，q都是奇数．(C)p是偶数，q是奇数．(D)p是奇数，q是偶数．(1989年“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)(7)如果方程x2+(4n+1)x+2n=0(n为整数)有两个整数根，那么这两个根是(A)都是奇数．(B)都是偶数．(C)一奇一偶．(D)无法判断．(1985年成都市初中数学竞赛题)(8)设a，b都是整数，给出四个命题：(i)若a+5b是偶数，则a-3b也是偶数；(ii)若a+b能被3整除，则a，b都能被3整除；(iii)若a+b是素数，则a-b一定不是素数；(iv)若c=a+b≠0，则3333ababacac．上述命题中是正确命题的个数是(A)1个．(B)2个．(C)3个．(D)4个．(第二届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)(9)六个奇数，它们的和是42，它们的平方和只可能是(A)280．(B)368．(C)382．(D)423．(1990年南昌市初中数学竞赛题)(10)自然数1，2，3，…，1989之和为一个奇数，若将前t个数添上“-”号，则这1989个数的和(A)总是奇数．(B)总是偶数．(C)t为奇数时其和为整数．(D)奇偶性不能确定．(第6届缙云杯数学邀请赛题)(11)设u=x2+y2+z2，其中x，y是相邻的整数，且z=xy，则u(A)总为奇数．(B)总为偶数．(C)有时为偶数，有时为奇数．(D)总为无理数．(第6届缙云杯数学邀请赛题)(12)设a为任一给定的正整数，则关于x与y的方程x2-y2=a2(A)没有正整数解．(B)只有正整数解．(C)仅当a为偶数时才有整数解．(D)总有整数解．(1988年江苏省初中数学竞赛题)(13)将正奇数1，3，5，7，…依次排成五列，如下表所示．把最左边的一列叫做第1列，从左到右依次将每列编号．这样，数“1985”出现在(A)第1列．(B)第2列．(C)第3列．(D)第4列．(E)第5列．(1985年第36届美国中学生数学竞赛题)2．扑克牌中的A，J，Q，K分别表示1，11，12，13．甲取13张红桃，乙取13张黑桃，分别洗和后，甲、乙依次各出一张牌，使红、黑牌配成13对，求证：这13对的差的积必为偶数．(1987年天津市初二数学竞赛题)3．求证：1986不能等于任何一个整数系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式的值．(1985年苏州市初中数学竞赛题)4．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且12xx+23xx+…+1nnxx＋1nxx=0，求证：n是4的倍数．(1985合肥市初中数学竞赛题)5．把n2个互不相等的实数排成下表：a11，a12，…，a1n，a21，a22，…，a2n，……an1，an2，…，ann．取每行的最大数得n个数，其中最小的一个是x；再取每列的最小值，又得n个数，其中最大的一个是y，试比较xn与yn的大小．(1982年上海市高中数学竞赛题)6．把1980分解成连续整数之和．(1980年长沙市高中数学竞赛题)7．求证：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差．(1990年西安市初中数学竞赛题)8．设n是正的偶数，试问下列诸数：1×(n-1)，2×(n-2)，…，(n-1)×1中哪个数最大？为什么？(1989年浙江省初二数学竞赛题)9．有一无穷小数A=0.a1a2a3…anan+1an+2…，其中ak(k=1，2，…)是0，1，2，…，9中的一个数，且a1为奇数，a2为偶数，a3等于a1+a2的个位数，a4等于a2+a3的个位数，…，an+2等于an+an+1的个位数．求证：A是一个循环小数．(1991年浙江省初中数学竞赛题)10．在99张卡片上分别写着数字1，2，3，…，99，现将卡片顺序打乱，让空白面朝上，再在空白面上分别写上1，2，3，…，99，然后将每一张卡片两个面上的数字相加，再将这99个和数相乘，问这个乘积是奇数还是偶数？说明理由．(1991年浙江省初中数学竞赛题)11．桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中的一枚，按这样的方法翻动硬币，问能否使桌上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上？说明你的理由．(1992年浙江省初中数学竞赛题)12．求证：不存在两个连续的奇数，每个都可写成两个整数的平方和．13．已知一个整数n，当它减去48所得的差是一个整数的平方，当它加上41所得的和是另一个整数的平方，求n．(1984年苏州市高中数学竞赛题)14．给定自然数a，b，求证：(1)如果ab是偶数，那么一定可以找到两个自然数c和d，使得a2+b2+c2=d2；(2)如果ab是奇数，那么满足a2+b2+c2=d2的自然数c和d一定不存在．(1980年北京市初中数学竞赛题)15．平面上的任意五个格点，若任何三点都不在同一条直线上，求证：以其中三点为顶点的所有三角形中，至少有一个面积为整数．16．设数列{an}：1，9，8，5，…，其中ai+4是ai+ai+3的个位数字(i=1，2，…)，求证：222198519862000aaa是4的倍数．17．存在多少个不同的七位数字，其数字和为偶数．18．设a，b是正整数，求证：仅有有限个正整数n存在，使得1122nnab是整数．(1992澳大利亚数学竞赛题)19．设a，b，c是奇自然数，求证：方程ax2+bx+c=0没有形如pq的解，其中p，q是整数．(1991澳大利亚数学通讯赛题)20．求满足|12m-5n|=7的全部正整数解．(第30届加拿大IMO训练题)21．求证：x2+y2=1983没有整数解．22．求证：方程2x2-5y2=7没有整数解．23．是否有整数m，n使得5m2-6mn+7n2=1987？24．求证：5x+2=17y没有正整数解．25．求证：四个正整数之和为13时，它们的立方和不可能是120．你能否把这个命题推广到一般的情形？请证明你的结论．26．一张8×8的方格纸，任意把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂成白色，接着对涂了色的方格纸进行“操作”，每次操作把任意横行或者竖列上每个方格同时变换颜色，问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？27．用0至9十个不同数字，组成一个能被11整除的最大十位数．28．在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形的顶点之间，用线段连结起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只有三角形的小块．求证：这种小三角形的个数与n的奇偶性相同．29．在1，2，3，…，1989之间填上“+、-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？(第15届全俄中学生数学竞赛题)30．三个质数之积恰好等于它们和的7倍，求这三个质数．31．置于暗室的一只抽屉内装有100只红袜子，80只绿袜子，60只蓝袜子，40只黑袜子，一个人从抽屉中选取袜子，但他无法看清所取袜子的颜色．为确保取出的袜子至少有10双(一双袜子是指两只相同颜色的袜子，但每只袜子只能一次用在一双中)，问至少需取多少只袜子？(第37届美国中学生数学竞赛题)32．如图表示64间陈列室，凡邻室皆有门相通，一人从A进，从B出，但要求每室都到且只到一次，问这种路线是否存在？33．求证：不存在三阶幻体．即将数1，2，…，27填入3×3×3的立方体中，不可能使所有“共线”的三数之和均相等．34．设a，b是自然数，且有关系式123456789=(11111+a)(11111-b)，求证：a-b是4的倍数．(1990年日本高考数学题)35．求证：方程x2+4xy+4y2+6x+12y=1986无整数解．36．已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数，并且bd+cd是奇数，求证：这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积．(1963年北京市中学数学竞赛题)37．求证：x4+1980x2+2000x+1990不可能分解成两个整系数二次三项式之积．38．设有7个3的不同方幂：13x，23x，…，73x，(xi≥0，i=1，2，…，7)．求证：可以从中找到四个数，它们的积等于某整数的四次方．39．求出所有的正整数m，n，使得(m+n)m=nm+1413．(1987年第2届东北三省数学邀请赛题)40．给定关于x，y的方程组22200yxayxyxb(其中a，b是整数)．求证：如果这个方程组有一组有理数解，那么这组有理数一定是整数．41．求证：勾股三角形(即边长为整数的直角三角形)的两条直角边长不可能是两个差为2的质数．42．设n为大于2的整数，求证，可以找到一个整数边长的直角三角形，它的一条边长等于n．43．设a，b，c为三个偶数，且abc0，它们的最小公倍数为1988．当a在它可取值的范围内取最小的一个时，试确定a，b，c可能组成的数组．(1988年天府杯初中数学竞赛题)44．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101，已知a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=S是偶数，求证：a1+a3+…+a99+a101是偶数．45．设n为正整数，k为大于1的正整数，求证：nk是n个连续奇数之和．46．设a，b，c为正整数，n为正奇数．如果a+b+c可被6整除，求证：an+bn+cn可被6整除．47．求证：任何形如2n的正整数，都不可能表示为两个或两个以上的连续整数之和，而其他形式的正整数都可以表示为这样的和．48．设a，b，c，d都是奇数，0abcd，且ad=bc．如果对整数k和m有a+d=2k及b+c=2m，求证：a=1．(第25届IMO试题)49．设点O在凸1000边形A1A2…A1000内部，用整数1，2，…，1000把1000边形的各边任意编号，用同样的整数把线段OA1，OA2，…，OA1000任意编号．问能否找到这样一种编号法，使△A1OA2，△A2OA3，…，△A1000OA1各边上的号码和相等？50．已知如下数表：将它的任一行或任一列中的所有数同时变号，称为一次变换．问能否经过若干次变换，使表中的数全变为正数？51．设集合M由奇数个元素组成，如果对于M中的每一个元素x，都有一个唯一确定的集合HxM与x对应，并且满足条件：(i)对于任意xM，都有xHx；(ii)对于任意两个元素x，yM，当且仅当yHx时，xHy．求证：至少有一个Hx由奇数个元素组成．(1987年安徽省数学竞赛题)52．在两张1994×1995的方格纸上涂上红蓝两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是蓝色的，如果将这两张纸重叠时，有一个蓝格与一个红格重合，求证：至少还有三个方格与不同颜色的方格重合．53．m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4n的最大值是多少？请证