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滚动数组（转）版权声明：转载时请以超链接形式标明文章原始出处和作者信息及本声明利用在数组长度N很大的情况下能达到压缩存储的作用。一般还是用在DP题目中，因为DP题目是一个自下而上的扩展过程，我们常常用到是连续的解，而每次用到的只是解集中的最后几个解，所以以滚动数组形式能大大减少内存开支。用法：#includeiostreamusingnamespacestd;intd[3];intmain(){d[0]=1;d[1]=1;for(inti=2;i100;i++)d[i%3]=d[(i-1)%3]+d[(i-2]%3];coutd[99%3]endl;//Fibonacci...return0;}inti,,j,d[2][100];//比d[100][100]省多了for(i=1;i100;i++)for(j=0;j100;j++)d[i%2][j]=d[(i-1)%2][j]+d[i%2][j-1];//DP....滚动数组举个简单的例子：inti,d[100];d[0]=1;d[1]=1;for(i=2;i100;i++)d[i]=d[i-1]+d[i-2];printf(%d,d[99]);上面这个循环d[i]只需要解集中的前2个解d[i-1]和d[i-2];为了节约空间用滚动数组的方法intd[3];d[0]=1;d[1]=1;for(i=2;i100;i++)d[i%3]=d[(i-1)%3]+d[(i-2)%3];printf(%d,d[99%3]);注意上面的运算，我们只留了最近的3个解，数组好象在“滚动‿一样，所以叫滚动数组对于二维数组也可以用这种方法例如：inti,j,d[100][100];for(i=1;i100;i++)for(j=0;j100;j++)d[i][j]=d[i-1][j]+d[i][j-1];上鿢的d[i][j]忪便赖于d[i-1][j],d[i][j-1];迿用滚动数组inti,,j,d[2][100];for(i=1;i100;i++)for(j=0;j100;j++)d[i%2][j]=d[(i-1)%2][j]+d[i%2][j-1];滚动数组实际是一种节约空间的办法，时间上没什么优势，多用于DP中，举个例子先：一个DP，平常如果需要1000×1000的空间，其实根据DP的特点，能以2×1000的空间解决问题，并且通过滚动，获得和1000×1000一样的效果。背包问题这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：fori=1..Nforv=V..0f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。AC自动机首先简要介绍一下AC自动机：Aho-Corasickautomation，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法之一。一个常见的例子就是给出n个单词，再给出一段包含m个字符的文章，让你找出有多少个单词在文章里出现过。要搞懂AC自动机，先得有模式树（字典树）Trie和KMP模式匹配算法的基础知识。AC自动机算法分为3步：构造一棵Trie树，构造失败指针和模式匹配过程。如果你对KMP算法和了解的话，应该知道KMP算法中的next函数（shift函数或者fail函数）是干什么用的。KMP中我们用两个指针i和j分别表示，A[i-j+1..i]与B[1..j]完全相等。也就是说，i是不断增加的，随着i的增加j相应地变化，且j满足以A[i]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前j个字符，当A[i+1]≠B[j+1]，KMP的策略是调整j的位置（减小j值）使得A[i-j+1..i]与B[1..j]保持匹配且新的B[j+1]恰好与A[i+1]匹配，而next函数恰恰记录了这个j应该调整到的位置。同样AC自动机的失败指针具有同样的功能，也就是说当我们的模式串在Tire上进行匹配时，如果与当前节点的关键字不能继续匹配的时候，就应该去当前节点的失败指针所指向的节点继续进行匹配。看下面这个例子：给定5个单词：saysheshrheher，然后给定一个字符串yasherhs。问一共有多少单词在这个字符串中出现过。我们先规定一下AC自动机所需要的一些数据结构，方便接下去的编程。1constintkind=26;2structnode{3node*fail;//失败指针4node*next[kind];//Tire每个节点的个子节点（最多个字母）5intcount;//是否为该单词的最后一个节点6node(){//构造函数初始化7fail=NULL;8count=0;9memset(next,NULL,sizeof(next));10}11}*q[500001];//队列，方便用于bfs构造失败指针12charkeyword[51];//输入的单词13charstr[1000001];//模式串14inthead,tail;//队列的头尾指针有了这些数据结构之后，就可以开始编程了：首先，将这5个单词构造成一棵Tire，如图-1所示。1voidinsert(char*str,node*root){2node*p=root;3inti=0,index;4while(str[i]){5index=str[i]-'a';6if(p-next[index]==NULL)p-next[index]=newnode();7p=p-next[index];8i++;9}10p-count++;//在单词的最后一个节点count+1，代表一个单词11}在构造完这棵Tire之后，接下去的工作就是构造下失败指针。构造失败指针的过程概括起来就一句话：设这个节点上的字母为C，沿着他父亲的失败指针走，直到走到一个节点，他的儿子中也有字母为C的节点。然后把当前节点的失败指针指向那个字母也为C的儿子。如果一直走到了root都没找到，那就把失败指针指向root。具体操作起来只需要：先把root加入队列(root的失败指针指向自己或者NULL)，这以后我们每处理一个点，就把它的所有儿子加入队列，队列为空。1voidbuild_ac_automation(node*root){2inti;3root-fail=NULL;4q[head++]=root;5while(head!=tail){6node*temp=q[tail++];7node*p=NULL;8for(i=0;i26;i++){9if(temp-next[i]!=NULL){10if(temp==root)temp-next[i]-fail=root;11else{12p=temp-fail;13while(p!=NULL){14if(p-next[i]!=NULL){15temp-next[i]-fail=p-next[i];16break;17}18p=p-fail;19}20if(p==NULL)temp-next[i]-fail=root;21}22q[head++]=temp-next[i];23}24}25}26}从代码观察下构造失败指针的流程：对照图-2来看，首先root的fail指针指向NULL，然后root入队，进入循环。第1次循环的时候，我们需要处理2个节点：root-next[‘h’-‘a’](节点h)和root-next[‘s’-‘a’](节点s)。把这2个节点的失败指针指向root，并且先后进入队列，失败指针的指向对应图-2中的(1)，(2)两条虚线；第2次进入循环后，从队列中先弹出h，接下来p指向h节点的fail指针指向的节点，也就是root；进入第13行的循环后，p=p-fail也就是p=NULL，这时退出循环，并把节点e的fail指针指向root，对应图-2中的(3)，然后节点e进入队列；第3次循环时，弹出的第一个节点a的操作与上一步操作的节点e相同，把a的fail指针指向root，对应图-2中的(4)，并入队；第4次进入循环时，弹出节点h(图中左边那个)，这时操作略有不同。在程序运行到14行时，由于p-next[i]!=NULL(root有h这个儿子节点，图中右边那个)，这样便把左边那个h节点的失败指针指向右边那个root的儿子节点h，对应图-2中的(5)，然后h入队。以此类推：在循环结束后，所有的失败指针就是图-2中的这种形式。最后，我们便可以在AC自动机上查找模式串中出现过哪些单词了。匹配过程分两种情况：(1)当前字符匹配，表示从当前节点沿着树边有一条路径可以到达目标字符，此时只需沿该路径走向下一个节点继续匹配即可，目标字符串指针移向下个字符继续匹配；(2)当前字符不匹配，则去当前节点失败指针所指向的字符继续匹配，匹配过程随着指针指向root结束。重复这2个过程中的任意一个，直到模式串走到结尾为止。1intquery(node*root){2inti=0,cnt=0,index,len=strlen(str);3node*p=root;4while(str[i]){5index=str[i]-'a';6while(p-next[index]==NULL&&p!=root)p=p-fail;7p=p-next[index];8p=(p==NULL)?root:p;9node*temp=p;10while(temp!=root&&temp-count!=-1){11cnt+=temp-count;12temp-count=-1;13temp=temp-fail;14}15i++;16}17returncnt;18}对照图-2，看一下模式匹配这个详细的流程