anasys本科生教案第二讲

第二章、结构静力分析的有限单元法第一节、有限单元法的分析过程有限元分析的六个基本步骤是：1.结构离散化；2.选择位移模式；3.分析单元力学特性；4.集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程；5.求解未知节点位移；6.计算单元应变和应力。平面问题有限元方法介绍以平面三角形为例：kvkujvjuiviu),(yxv),(yxu),(kkyxk),(jjyxj),(iiyxi1、设定位移函数yaxaayxu321),(yaxaayxv654),(写成矩阵：单元内的位移通过节点的位移插值得到。对于三角形单元，可假定单元内的位移为的线性函数。yx,Sad65432110000001aaaaaayxyxvu既然是单元内某点的位移表达式，当然也是三个节点上的位移。),(),,(yxvyxuCaq654321100000011000000110000001aaaaaayxyxyxyxyxyxvuvuvukkkkjjjjiiiikkjjiie可以得到：eqCa1这里:是广义坐标。,...)3,2,1(iaikjikjikjikjikjikjicccbbbaaacccbbbaaaA000000000000000000211C式中：ijjkjkijkkjjiiyyxxyyxxyxyxyxA1112ijjikkiikjjkkjiyxyxayxyxayxyxajikikjkjiyybyybyybijkkijjkixxcxxcxxc为不使A为负值，图1中的i，j，k必须按逆时针方向标注将上述式子代入有：SadkkjjiikjikjikjikjikjikjivuvuvucccbbbaaacccbbbaaayxyxAvu0000000000000000001000000121任意点位移任意点坐标节点几何量节点位移kkkkjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAyxu21),(kkkkjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAyxv21),(或写成：kkjjiiuNuNuNyxu,kkjjiivNvNvNyxv,可简写为：eNqdkjikjiNNNNNN000000N上式为单元内某点的节点位移插值表示的多项式，称N为形状函数，其中：AycxbaNiiii2AycxbaNjjjj2AycxbaNkkkk2选取单元位移函数的一般原则：广义坐标是由节点场变量确定，因此，其个数必须与节点自由度个数相等；选取多项式时，常数项（反映刚体位移）和坐标的一次项（反映常应变）必须完备；当单元数目趋于无穷时，单元缩小趋于一点，此时单元应变为常应变；多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元精度。ia2、由位移函数求应变由弹性力学的知识：xuxyvyxvyuxyLdεvuxyyxxvyuyvxuxyyx00可得：或写成：ekkjjiikkjjiikjikjievuvuvubcbcbccccbbbABqLNqε00000021kkjjiikjikjibcbcbccccbbbA00000021LNBkkjjiievuvuvuq3、由应变求应力对于平面问题：eTxyyxDBqDεσ对于平面应力：2100010112ED4、由虚功原理求单元刚度矩阵0WWF给单元节点以任意虚位移：Tkkjjiievuvuvuq虚位移、虚应变分别可表示为：虚功原理：当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意给定的虚位移下，外力及内力所做的虚功之和为零。FevuqNeqBε单元节点的虚功：ykkxkkyjjxjjxjixiiFFvFuFvFuFvFuWeTeFWfq单元内力的虚功：dVdVWVTVxyxyyyxxσε即eTTeVeTTedVdVWqDBBqDBqBq由虚功方程：eTTeeTedVqDBBqfq是任意的，可消去：TeqVeTedVqDBBf或：eeeqKfVTedVDBBK其中把B和D代入上式，得平面应力问题的三角形单元刚度矩阵：kkkjkijkjjjiikijiiekkkkkkkkkKsrsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbAEtK21212121142kjiskjir,,;,,t是单元厚度单元刚度矩阵任意元素的物理意义当单元的第j个节点位移为单位位移而其它节点位移为零时，须在单元第i个节点位移方向上施加的节点力大小。显然，单元刚性越大，则使节点产生单位位移所需施加的节点力就越大。eijK单元刚度矩阵的特点对称性奇异性物理解释：单元处于平衡时，节点力相互不是独立的，它们必须满足平衡方程，因此，它们是线性相关的。另一方面，即使给定满足平衡的节点力f，也不能确定单元节点位移，因为单元还有任意的刚体位移。主元恒正物理解释：要使节点位移，施加在方向的节点力必须与位移同向。eq1iqiqifiq第二节、有限单元法的解题步骤1、单元剖分和插值函数的确定根据构件的几何特性、载荷情况及所要求的变形，建立由各种单元组成的计算模型。然后再按单元的性质和精度要求，写出表示单元内任意点的位移函数。利用节点，可以写出以表示的节点位移aeqCaqeSad求及，并代入1CeqCa1SadeeNqqSCd1它是用节点位移表示单元内任意点位移的插值函数式。2、单元特性分析根据位移插值函数，由弹性力学给出的应力应变关系，计算应变为：eBqB是应变矩阵。相应的变分为：eqB由物理关系（本构关系）eDBqDεσ由虚功原理：eTeVTdVfqσε得节点力与位移间的关系为：eeeqKfeVTedVDBBK其中：3、单元组集把各单元按节点组集成与原结构相似的整体结构，得到整体结构的节点力与节点位移的关系，即整体平衡方程：fKq对于结构静力分析，载荷列阵f可包括：pmTffffvvTTdVpNf其中：体积力SsTTdspNf表面力：pNfTp集中力：4、解有限元方程•解题前，需对结构平衡方程组进行边界条件处理（直接代入法；置大数法；对角元素置1法）；•采用不同的方法解有限元方程，得出节点位移。njnjnnnnnffffddddKKKKKKKK.......0.........0.........00100000...0...212121222111211对角元素置1法5、计算应力计算得到节点位移后，由和即可求出相应节点应力。eqeBqεDεσnjjjnjnnnnjnjjjjnffKffddddKKKKKKKKKKKK.......0.........0...............00...0...21212121222111211置大数法有限元分析的流程CAD几何模型输入离散模型数据按选择的单元计算单元刚度矩阵按总刚存储模式集成总刚按单元循环形成K计算单元等效节点载荷集成结构节点载荷列阵引入位移边界条件按选定解法解线性方程形成f消除K的奇异性求解Kq=f辅助计算根据计算a结果输出结束有限元分析软件的构成前处理（Preprocessing）：形成有限元模型所需要的单元、节点数据；材料特性、边界条件和载荷条件。求解程序（Solution）：计算刚度矩阵、载荷列阵，求解平衡方程，计算应力、应变。后处理（Postprocessing）：将计算结果（位移、应力、应变等）通过图形、表格等不同方式形象化地表现出来。