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递推算法确定状态确定递推关系和边界条件程序实现例1：计算系数(NOIP2011day2)•【题目描述】给定一个多项式(ax+by)k,请求出多项式展开后xnym项的系数•【输入】共一行，包含5个整数，分别为a,b,k,n,m，每两个整数之间用一个空格隔开。•【输出】输出共1行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007取模后的结果。•【输入输出样例】factor.infactor.out113123•【数据范围】对于30%的数据，有0≤k≤10；对于50%的数据，有a=1，b=1；对于100%的数据，有0≤k≤1,000，0≤n,m≤k，且n+m=k，0≤a，b≤1,000,000。方法一•根据二项式定理可知：(ax+by)k==•取i=n,xnym的系数为•其中an和bm可以用快速幂来计算，在lg(n)+lg(m)内完成。•计算可以用递推来求解。•状态：f[i,j]表示从i个数中选j个数的方案数。f[k,n]就是答案。•根据第i数选还是不选来进行分析：1.选择第i个数：此情况的方案数等价于从i-1个数中选择j-1个数的方案数即f[i-1,j-1];2.不选第i个数：此情况的方案数等价于从i-1个数中选择j个数的方案数即f[i-1,j]所以f[i,j]=f[i-1,j-1]+f[i-1,j]•边界条件：f[i,0]=1,f[i,i]=1。时间复杂度为O(n*k)。kiikiikbyaxC0)()(**kiikiikiikyxbaC0****baCmnnk**Cnk方法二•当k达到106的时候，方法一会超时。•由于10007是素数，在计算C(k,n)mod10007时可以采用扩展GCD来解决。•时间复杂度为O(k)。参考代码：#includeiostream#includefstreamusingnamespacestd;ifstreamfin(factor.in);ofstreamfout(factor.out);constintMAXN=1005;intdp[MAXN][MAXN],a,b,k,n,m,ans;intmain(){finabknm;dp[1][1]=dp[1][2]=1;for(inti=2;i=k;i++)for(intj=1;j=i+1;j++)dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1])%10007;ans=dp[k][m+1];for(inti=1;i=n;i++)ans=((ans%10007)*(a%10007))%10007;for(inti=1;i=m;i++)ans=((ans%10007)*(b%10007))%10007;foutansendl;return0;}例2：B光滑数•【问题描述】•B为一个正整数，如果一个自然数N的质因子分解式中没有大于B的因子，我们就称N是一个B光滑数。请你编一个程序，求出某个区间中所有的B光滑数的个数。•输入：•输入文件名为bnum.in，仅有一行，包含三个用空格隔开的整数N,M,B,其中1=N=2，000，000，000,1=M=100，000，000,1=B=1，000，000。•输出：输出文件名为bnum.out，仅一行。一个整数，表示区间[N,N+M]之间的B光滑数的个数。•【样例输入】•30105•【样例输出】•4参考题解•首先我们定义一个表pri[max],pri[i]表示第i个质数，第一个质数为2.设数组max，其中max[i]记录i的最大质因子。定义f(b,x1,x2)表示区间[x1,x2]之间不包括大于第b个质数的质因子的所有正整数，则有如下递归关系：F(b,x1,x2)=f(b-1,x1,x2)+f(b,(x1-1)divpri[b]+1,x2divpri[b])•该递归式的边界条件为：•F=0x1x2•F=x2-x1+1x2=pri[b]•可直接验证x1=x2•F=trunc(log2(x2))-trunc(log2(x1))b=1例3：出栈序列统计•【问题描述】•栈是常用的一种数据结构，有n个元素在栈顶端一侧等待进栈，栈顶端另一侧是出栈序列。你已经知道栈的操作有两种：push和pop，前者是将一个元素进栈，后者是将栈顶元素弹出。现在要使用这两种操作，由一个操作序列可以得到一系列的输出序列。请你编程求出对于给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n，经过一系列操作可能得到的输出序列总数。•【输入】【输出】•就一个数n(1≤n≤1000)。一个数，即可能输出序列的总数目。•【样例】•stack.instack.out•35【算法分析】•我们通过回溯的方法计算并输出不同的出栈序列，这里只要求输出不同的出栈序列总数目，所以我们希望能找出相应的递推公式进行处理。•从排列组合的数学知识可以对此类问题加以解决。•我们先对n个元素在出栈前可能的位置进行分析，它们有n个等待进栈的位置，全部进栈后在栈里也占n个位置，也就是说n个元素在出栈前最多可能分布在2*n位置上。•出栈序列其实是从这2n个位置上选择n个位置进行组合，根据组合的原理，从2n个位置选n个，有C(2n,n)个。但是这里不同的是有许多情况是重复的，每次始终有n个连续的空位置，n个连续的空位置在2n个位置里有n+1种，所以重复了n+1次。所以出栈序列的种类数目为：【算法分析】•C(2n,n)/(n+1)•=2n*(2n-1)*(2n-2)…*(n+1)/n!/(n+1)•=2n*(2n-1)*(2n-2)*…*(n+2)/n!。•考虑到这个数据可能比较大，所以用高精度运算来计算这个结果。•本题实际是一个经典的Catalan数模型。有关Catalan数的详细解释请参考《组合数学》等书。参考程序：#includeiostream#includecstdiousingnamespacestd;typedeflonglonglld;lldi,n,ans;lldh[1000];intmain(){freopen(stack.in,r,stdin);freopen(stack.out,w,stdout);h[2]=1;cinn;n=n+2;for(lldi=3;i=n;i++)for(lldk=2;ki;k++)h[i]=h[i]+h[k]*h[i-k+1];couth[n]endl;return0;}【思考与提高】我们知道，在某个状态下，所能做的操作(移动方法)无非有两种：（1）将右方的等待进栈的第一个元素进栈；（2）将栈顶的元素出栈，进入左边的出栈序列。设此时右方、栈、左方的元素个数分别为a，b，c。我们就能用(a,b,c)表示出当前的状态。显然n=a+b+c，则c=n-a-b。即已知a和b，c就被确定，所以我们可以用(a,b)来作为状态的表示方法。则起始状态为(n,0)，目标状态为(0,0)。又由上面的两种移动方法，我们可类似的得到两种状态转移方式：【思考与提高】【思考与提高】再设f(a,b)为从状态(a,b)通过移动火车变为状态(0,0)的所有移动方法。类似于动态规划的状态转移方程，我们可写出以下递归式：边界值：f(0,0)=1。有了这个递归公式后，再写程序就比较简单了。例4：骨牌覆盖问题•有2行n列的长方形方格，要求用n个1*2的骨牌铺满。有多少种铺法？•如n=3时有以下3种覆盖方法：方法一•状态：f[i]表示铺满2*i的长方形的方案数•找规律,手工或搜索求出i=1,2,3,4,5的方案数分别为1，2，3，5，8,容易发现f[i]=f[i-1]+f[i-2](i=3)•边界条件：f[1]=1,f[2]=2•递推关系式•1i=1•f[i]=2i=2f[i-1]+f[i-2]i=3•答案为f[n]，时间复杂度为O(n)。方法二•对于i=3,分析第一列的两个格子覆盖情况，有两种情况：1.用1*2的骨牌竖着覆盖第一列，这种情况的方案数等于后面2*(i-1)的长方形的覆盖方案数，即f[i-1]；2.用两个1*2的骨牌横着覆盖，这种情况的方案数等于后面2*(i-2)的长方形的覆盖方案数，即f[i-2]。所以f[i]=f[i-1]+f[i-2]方法三•分析用1*2的骨牌覆盖列的位置来计算方案数•1.如果i为偶数，覆盖方案分为两类：(1)没有竖立覆盖其中一列的情况：全部用横向覆盖的方案，方案数为1；(2)有竖立覆盖的情况：为了避免重复，考虑第一次竖立覆盖的位置在x列，x必须是奇数，而且前1到x-1列覆盖方法唯一，全部采用横向覆盖，方案数等于后面i-x列的覆盖情况，即f[i-x]。•所以当i为偶数时,f[i]=1+f[1]+f[3]+...+f[i-3]+f[i-1]•2.如果i是奇数，一定有竖立覆盖的情况，f[i]=1+f[2]+f[4]+.....+f[i-3]+f[i-1]•如何证明该递推关系式等价于f[i]=f[i-1]+f[i-2]？•试着用横向覆盖的来分析递推关系式。方法四•分治，一分为二来考虑,左边为ndiv2列，右边为n-ndiv2列，如果左右独立则方案数为f[ndiv2]*f[n-ndiv2],如果有横向覆盖第ndiv2列和第ndiv2+1列，则方案数为f[ndiv2-1]*f[n-ndiv2-1]•所以f[n]=f[ndiv2]*f[n-ndiv2]+f[ndiv2-1]*f[n-ndiv2-1]参考代码：#includefstreamusingnamespacestd;longlongf[60];ifstreamfin(domino.in);ofstreamfout(domino.out);intmain(){intn,i;finn;f[1]=1;f[2]=2;for(i=3;i=n;i++)f[i]=f[i-1]+f[i-2];foutf[n]endl;return0;}