bu-gjkpf高一数学典型例题分析数列的求和

、.~①我们‖打〈败〉了敌人。②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。专题研究：数列的求和·例题解析【例1】求下列数列的前n项和Sn：(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，，，…，，…；，，，…，，…；，＋，＋，…，＋＋＋…＋，…．()nnnnn解(1)S=112=(123n)n2143181212141812…＋＋＋…＋＋…()()nnn=n(n+1)2=1121121121212()()nnnn＋(2)S=13=(13+13++13)+(23+23++23)n32n-1242n2313231323234212………nn=13()()()1131132311311358113222222nnn(3)先对通项求和a=1S=(222)(1+14++12)nnn-11214122121211…∴＋＋…＋－＋…nn=2n(1+14++12)=2n2n-1－＋…－＋12121n【例2】求和：(1)11+123+134+(2)11(3)12···…···…···…2115137159121235158181113132nnnnnn()()()()()解(1)1n(n+1)111111212131314111nnSnnn∴…()()()()1111nnn(2)1(2n1)(2n+3)S=n141211231411513171519123121121123()[]nnnnnn∴…=141131211234532123[]()()()nnnnnn(3)1(3n1)(3n+2)S=13n131311321215151818111131132()[()()()()]nnnn∴…=13()1213264nnn【例3】求下面数列的前n项和：1147(3n2)＋，＋，＋，…，＋－，…11121aaan分析将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以为公比的等1a比数列，另一个数组成以3n－2为通项的等差数列，分别求和后再合并．解设数列的通项为an，前n项和为Sn则＋∴…＋＋＋＋…＋－a=1a(3n2)S=[147(3n2)]nn1n()111121aaan当时，＋·当≠时，a=1S=na1S=11a11annn[()]()()1322321322131221nnnnnnaaannnnn说明等比数列的求和问题，分q=1与q≠1两种情况讨论．【例4】a=k(kN*)aaak设＋＋…＋∈，则数列，，，12357222123…的前n项之和是[]ABCD．．．．613161612nnnnnnnn()()解bb=nn设数列，，，…，的通项为．则35721123aaanan又∵＋＋…＋＋＋∴a=12n=n(n1)(2n1)b=6n(n+1)=6(1n1n+1)n222n16数列{bn}的前n项和Sn=b1＋b2＋…＋bn=6=6=6nn+1(A)[()()]()1121311213111111……选．nnnn【例5】求在区间[a，b](b＞a，a，b∈N)上分母是3的不可约分数之和．解法一[ab]3a1a2b1区间，上分母为的所有分数是，，，＋，，，＋，…，－，，，它是以为首项，以为公差的等差数列．33313323343353323313333313aaaaabbba项数为－＋，其和－＋＋3b3a1S=12(3b3a1)(ab)其中，可约分数是a，a＋1，a＋2，…，b其和′－＋＋S=12(ba1)(ab)故不可约分数之和为SS=12(ab)[(3b3a1)(ba1)]－′＋－＋－－＋=b2－a2解法二∵…S=3a+13+3a+23+3a+43+3a+53++3b23+3b13∴＋＋＋＋＋＋＋＋…＋－＋－而又有－＋－＋－＋－＋…＋＋＋＋S=(a)(a)(a)(a)(b)(b)S=(b)(b)(b)(b)(a)(a)132343532313132343532313两式相加：2S=(a＋b)＋(a＋b)＋…＋(a＋b)其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数．即3(b－a)＋1－(b－a＋1)=2(b－a)∴2S=2(b－a)(a＋b)∴S=b2－a2【例6】求下列数列的前n项和Sn：(1)a，2a2，3a3，…，nan，…，(a≠0、1)；(2)1，4，9，…，n2，…；(3)1，3x，5x2，…，(2n－1)xn-1，…，(x≠1)(4)1224382，，，…，，…．nn解(1)Sn=a＋2a2＋3a3＋…＋nan∵a≠0∴aSn=a2＋2a3＋3a4＋…＋(n－1)an＋nan+1Sn－aSn=a＋a2＋a3＋…＋an－nan+1∵a≠1∴()()()()111111121aSaaanaSaaanaannnnnn(2)Sn=1＋4＋9＋…＋n2∵(a＋1)3－a3=3a2＋3a＋1∴23－13=3×12＋3×1＋133－23=3×22＋3×2＋143－33=3×32＋3×3＋1……n3－(n－1)3=3(n－1)2＋3(n－1)＋1(n＋1)3－n3=3n2＋3n＋1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n＋1)3－13=3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n=3(123n)n2222＋＋＋…＋＋＋312nn()∴12＋22＋32＋…＋n2=[(n1)1n]=[n3n3nn]3321331213312＋－－－＋＋－－nnnn()()=n(2n3n1)=n(n1)(2n1)21616＋＋＋＋(3)∵Sn=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn-1∴xSn=x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－3)xn-1＋(2n－1)xn两式相减，得(1－x)Sn=1＋2x(1＋x＋x2＋…＋xn-2)－(2n－1)xn=1(2n1)x=(2n1)xS=(2n1)xnn+1nn+1－－＋∴2112111211112xxxnxxxnxxxnnn()()()()()()(4)S=12n∵……22322121222322232341nSnnnn两式相减，得121212121221211211222311Snnnnnnn…()112212211nnnnnn∴－S=2n说明求形如{an·bn}的数列的前n项和，若其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想．【例7】{a}nSS=nnn设等差数列的前项和为，且，()an122n∈N*，若bn=(－1)n·Sn，求数列{bn}的前n项和Tn．分析求{bn}的前n项和，应从通项bn入手，关键在于求{an}的前n项和Sn，而由已知只需求{an}的通项an即可．解法一{a}S=n=1a=(a2)a=1nn1121∵是等差数列，当时，解得()an1212当时，＋解得或－当时，＋＋，由，解得或n=2aa=(a)a=3a=1n=3aaa=(a)a=3a=5a=122222123322331212－3，由a2=1，解得a3=1．又≥，∴－，－，舍S=0a=1a=3a=1()n233()an122即a1=1，a2=3，a3=5，∴d=2an=1＋2(n－1)=2n－1Sn=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2bn=(－1)n·Sn=(－1)n·n2Tn=－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2当n为偶数时，即n=2k，k∈N*Tn=(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(2k－1)2＋(2k)2]=3＋7＋…＋(4k－1)=[3+(4k1)]k2=(2k1)k=·＋nn()12当n为奇数时，即n=2k－1，k∈N*Tn=－12＋22－32＋42－…－(2k－1)2=－12＋22－32＋42－…－(2k－1)2＋(2k)2－(2k)2=(2k＋1)k－(2k)2=－k(2k－1)=T=(1)nN*nS=(a+a)n2annn1nn－∴－·∈也可利用等差数列的前项和公式·，求．nnnn()()1212解法二n=1a=(a)a=1S=n(a+a)1121n1n取，则∴又可得：·12212122()()anann∵an≠－1∴an=2n－1以下同解法一．说明本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列{an}的通项an，在求数列{bn}的前n项和中，通过化简、变形把一般数列的求和问题转化为等差数列的求和问题．由于(－1)n的作用，在变形中对n须分两种情况讨论