ch3-6几类简单的微分方程

2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系1第3章一元函数积分学及其应用第1节定积分的概念，存在条件与性质第2节微积分基本公式与基本定理第3节两种基本积分法第4节定积分的应用第5节反常积分第6节几类简单的微分方程2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系2(),yfxy已知求—积分问题—微分方程问题推广(,),yfxyy已知求()(1)(,,,,)nnyfxyyyy已知，求第6节几类简单的微分方程本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分方程及其应用.ch7章对微分方程的理论及其求解将进行较为系统的介绍2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系3第6节几类简单的微分方程6.1几个基本概念6.2可分离变量的微分方程6.3一阶线性微分方程6.4变量代换法6.5可降阶的高阶方程6.6应用举例2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系4例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy2xdxy21,2xy时,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为6.1、几个基本概念2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系5例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,tssst米秒钟行驶设制动后4.022dtsd,20,0,0dtdsvst时14.0Ctdtdsv2122.0CtCts2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系6代入条件后知0,2021CC,202.02tts,204.0tdtdsv故),(504.020秒t列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米s开始制动到列车完全停住共需2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系7微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy,yxxz实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1:常微分方程,偏微分方程.2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系8,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy分类2:微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.,xyy,32xeyyy2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系9分类3:线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy;02)(2xyyyx分类4:单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程.2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系10微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,)(阶导数上有在区间设nIxy.0))(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系11(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,yy例;xcey通解,0yy;cossin21xcxcy通解通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系12过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系13例3验证:函数ktcktcxsincos21是微分方程0222xkdtxd的解.并求满足初始条件0,00ttdtdxAx的特解.解,cossin21ktkCktkCdtdx,sincos221222ktCkktCkdtxd,22的表达式代入原方程和将xdtxd2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系14.0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解故ktCktCx,0,00ttdtdxAx.0,21CAC所求特解为.cosktAx补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系156.2可分离变量的微分方程Cxxdxyxxdxdyxdxdy22221积分两端对即，解：例上节回顾积分含有未知函数，不好求若两端积分：求解问题dxxyyxydxdy2222:2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系16.2)()()'1(0),(),()1(),('量的微分方程则原方程称为可分离变）（能化成或若dxxfdyygdyyxNdxyxMyxfy，使方程变形为：解决)0(21:2yxdxdyy.1122解验证的确是原方程的通两端积分CxyCxy定义~~~~~~~~~~~~~~~~~~分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系17dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程.解法设函数)(yg和)(xf是连续的,dxxfdyyg)()(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,CxFyG)()(为微分方程的解.2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系18例4求解微分方程.2的通解xydxdy解分离变量,2xdxydy两端积分,2xdxydy12lnCxy.2为所求通解xcey2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系190)()(22dyyxydxxyx解微分方程0)1()1(22dyxydxyx原微分方程为：dxxxdyyy11:22分离变量后Cxyln)1ln()1ln(22)0()1(122CxCy例5解2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系20)()(xQyxPdxdy一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.,0)(xQ当例如,2xydxdy,sin2ttxdtdx线性的;6.3一阶线形微分方程2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系21.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系222.线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy讨论,)()(dxxPyxQydy两边积分,)()(lndxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为设,)()(lndxxPxvy.)()(dxxPxveey即非齐方程通解形式与齐方程通解相比:)(xuC2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系23常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数新未知函数作变换dxxPexuy)()(,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxuexuy2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系24对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解()dPxxCe解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:()d()(),Pxxyxuxe则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系25.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx解例12008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系26求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令txu0()sin()dxfxxfuu则有()()cosfxfxx(0)0f利用公式可求出1()(cossin)2xfxxxe例22008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系276.4变量代换法2伯努利方程1齐次方程3其他的变量替换法举例2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系286.4变量代换法)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.(2)解法,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程(1)定义1齐次方程2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系29例1求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu.lnsinCxxy微分方程的解为解2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系30伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.2伯努利方程时，当1,0n时，当1,0n解法:需经过变量代换化为线性微分方程.2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系31,1nyz令，则dxdyyndxdzn)1(),()(1xQyxPdxdyynn),()1()()1(xQnzxPndxdz求出通解后，将代入即得nyz1，得两端除以ny代入上式.))1)((()()1()()1(1CdxenxQezydxxPndxxPnn2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系32.42的通解求方程yxyxdxdy,412xyxdxdyy,yz令,422xzxdxdz,22Cxxz解得.224Cxxy即解，得两端除以ny例22008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系332(3).dyxydx例求的通解解,xyu令1dxdudxdy代入原方程21udxdu,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为.)tan(xCxy3其他的变量替换法举例2008年12月17日南京航空航天大学理学院数学系34()()0.fxyydxgxyxdy例4求方程通解,xyu令,ydxxdydu则,0)()(xydxduxugydxuf,0)()]()([duugdxxuuguf,0)]()([)(duugufuugxdx.)]()([)(||