chap16工程力学.

2本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应用这一原理，将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，也称动静法。3§16-1惯性力的概念·质点的达朗伯原理定义：质点惯性力amQ非自由质点M，质量m，受主动力，约束反力，合力FNamNFR0amNF0QNF质点的达朗伯原理4该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式[例1]列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度。5选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力)(maQamQ0cossin,0QmgXtgga角随着加速度的变化而变化，当不变时，角也不变。只要测出角，就能知道列车的加速度。摆式加速计的原理。aaa解：由动静法,有解得6§16-2质点系的达朗伯原理对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：0)()()(0iOiOiOiiiQmNmFmQNF设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有),1,2,......(0niQNFiii注意到,将质点系受力按内力、外力划分,则0)(,0)()(iiOiiFmF0)()(0)()(iOeiOieiQmFmQF7对平面任意力系：0)()(00)()()(iOeiOiyeiixeiQmFmQYQX对于空间任意力系：0)()(,00)()(,00)()(,0)()()()()()(izeizizeiiyeiyiyeiixeixixeiQmFmQZQmFmQYQmFmQX实际应用时,同静力学一样任意选取研究对象,列平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时，8§16-3刚体惯性力系的简化简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力和一个惯性力偶。QRQOM与简化中心无关CQaMamQR无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。)(与简化中心有关QmMOQO9一、刚体作平动cQaMR刚体平动时惯性力系为一平行力系，其中心位于质心，故惯性力系合成为一过质心的合惯性力。10空间惯性力系—平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：主矢：CQaMR)()(niOiOQOQmQmM二、定轴转动刚体先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。主矩0iiirmr2OiiIrm)(反向负号表示与11向O点简化：CQaMROQOIM向质点C点简化：CQaMRCQCIM作用在C点作用在O点12讨论：①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C。2meRQ13讨论：②转轴过质点C，ac=0;但0，故惯性力系简化为一惯性力偶CQIM（与反向）14讨论：③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则0,0QCQMR（主矢、主矩均为零）15假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为CQaMRCQCIMCQaMRCQCIM三、刚体作平面运动随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动：作用于质心16对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：0)(,0)(0,00,0)()()(QCeCCQyeQxeMFmFmRYYRXX17[例1]均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。选杆AB为研究对象2mlRQ3,02mlIMmaRAQAnnQ解：根据动静法，有虚加惯性力系：18(1)0cos,00QARmgRF;sin:)2(0mgRnA得由(2)0sin,00nQnAnRmgRF(3)02/cos,0)(0QAAMlmgFm;cos23:)3(0lg得由。得代入cos4:(1)0mgRA19[例2]牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力TS、取轮为研究对象mRmaRCQ解：由动静法，得：O2mIMCQC及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M之最大值。虚加惯性力系：20(1)0,0QRTFX由(1)得TFmRRQ得代入所以(3)mRTFmRTFmFRMFRMQC2由(2)得N=P+S，要保证车轮不滑动，必须FfN=f(P+S)(5)RTRRSPfM22))((可见，f越大越不易滑动。Mmax的值为上式右端的值。把(5)代入(4)得：O(2)0,0SPNY(3)0,0)(QCCMFRMFm(4))()(222RTRRFTFRFRM21§16-4定轴转动刚体的轴承动反力静平衡与动平衡的概念一、刚体的轴承动反力刚体的角速度，角加速度（逆时针）主动力系向O点简化:主矢,主矩惯性力系向O点简化:主矢,主矩'R'QROMQOMCQaMR)(iOiiQOQmQrMkMjMiMQzQyQx)()()(kQmjQmiQmiziyix22)()()(ixnixixQxQmQmQmM2yzzxQyIIM同理可得/co/sin故而iiiiiiRxsRy,惯性积令iiiyziiizxzymIxzmIcossiniiiiiniiiamzamziiiiiiiiRzmRzmcossin2)()(2iiiiiiQxzymxzmM2yzzxQxIIMziiiiiizQzIRmRamQmM2)(23根据动静法：,0''QxxBARRXX其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l,OA=l1,OB=l2可得,0''QyyBARRYY,0'zBRZ,0OAYOBYMMABQxx,0OBXOAXMMBAQyy.0QzzMM24由两部分组成：使附加动反力为零，须有静反力附加动反力动反力llRMlRMYQyQxyxA/)]'()'[(22llRMlRMXQxQyxyA/)]'()'[(22llRMlRMYQyQxyxB/)]'()'[(11llRMlRMXQxQyxyB/)]'()'[(11'xBRZ一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。250)0(4222yzzxxzIII0QyQxMM0''QyQxRR对z轴惯性积为零，z轴为刚体在O点的惯性主轴；当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。0022yzzxyzzxIIII00cycxMaMa0cycxaa过质心26静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。二、静平衡与动平衡的概念动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力.27[例1]质量不计的转轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡动平衡静平衡静平衡28动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。GrmrGrMaQ12121,0:)(对,21[例2]两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a)绳子上加力G(b)绳子上挂一重G的物体OOGrrgGmrGrrRMbQQ2222221,0:)(对2129根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。达朗伯原理的应用应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。30①选取研究对象。原则与静力学相同。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。31⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。⑦求解未知量⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。QOQMR,OQOCQIMmaR,的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按代入即可。32[例2]在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？(3)轴承O处的支反力？(4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？33解：OOOQRgQIM221列出动静方程：(1)0,0)(MMTRFmQOAAQRgPagPR2QA21M,取轮A为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶MQC如图示。QR取轮O为研究对象，虚加惯性力偶(2)0cos0T,XXO(3)0sin0TQ,YYO34(5)0sin,0(4)0'sin,0)(PFRT'XMRTRRRPFmQQAQC运动学关系：，OAOAARRa将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：)3()sin(22gRPQRPMO列出动静方程。)3()sin3(RPQQRMPT35[例3]质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。取系统为研究对象解：36虚加惯性力和惯性力偶：IIMamRamROQOQQ,,222111由动静法：00,0)(222111221122112211IramramgrmgrmMrRrRgrmgrmFmQOQQO列补充方程：代入上式得：2211,raragIrmrmrmrm222211221137[例4]均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。解：(1)用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC=R,动能为：P38222224322121CCvgPRgPvgPT主动力的功：sinPSWF由动能定理得FWTT12sin34sin04322gSvPSvgPCC对t求导数，则：sin32,sin32RggaC(2)用达朗伯原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶MQCQRP39,sin32