Chap3-lattice-vibration固体理论-晶格振动.

第三章晶格振动与固体的热学性质朱俊微电子与固体电子学院Latticedynamicsandheatpropertiesofsolids晶格动力学一维单原子链一维双原子链固体的热性质爱因斯坦模型德拜模型主要内容：关键概念：声子，声学波和光学波一、固体中热现象的研究历史1、为什么要研究点阵动力学？1907年，AlbertEinstein发表了题为“Planck辐射理论与比热的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应，并决定基本的物理性质，实际上是wave-particleduality概念(1924年)最早的不自觉应用。所以他的工作不仅是点阵动力学的开始，而且在量子理论的发展上也很重要。1912年，PeterJosephWilliamDebye认识到，Einstein提出的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。1912年，MaxBorn和TheodorevonKarman发表了题为“论空间点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形式存在。是点阵动力学的奠基之作。1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在MaxBorn和黄昆的书“晶体点阵的动力理论”中。1950年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。静止晶格理论不适用的地方(TheFailureofStaticLatticeModel)：晶格结构一章中，所有讨论都是假设原子是静止的。实际上，根据经典热力学，原子的运动随着温度的增高而越来越剧烈。根据量子力学，因为测不准原理(UncertaintyPrinciple)的限制，甚至在绝对零度原子也不能静止。如果晶格是静止的，固体的热性质(Thermalproperty)无法解释。例如:在绝缘体中，电子被束缚在各个原子周围，无法移动传导热量，因此绝缘体的导热必须由晶格原子的运动来解释。又比如:固体的热膨胀(Thermalexpansion)离开晶格的运动也是不可理解的。在高温下固体会溶解，显然，溶解过程没有晶格运动的参与是绝对不可能的。绝缘体除导电以外，还传导声波。同样，静止晶格模型是不能解释的。.BCS超导体理论证明，没有晶格振动与电子运动的耦合(一对电子通过电子-声子的相互作用,结合成为CooperPair)，超导也不可能实现。此外，离子晶体在红外区域(Infrared)有强烈的、单色性很好的反射(也就是共振)，反射能量大大低于电子的能级，因此必须用晶格振动来解释。另外，在激光，X射线及中子的散射实验中，有频率偏移，漫散射及固定的能量损失，证明晶体中有具备特定能量(原频率ω只能是某些特定的值）的原子运动。如何研究？晶体谐振理论(TheoryoftheHarmonicCrystal)2、简谐近似模型晶体中原子的平衡位置由原子结合势决定。平衡位置附近的一对原子间的净作用力正比于原子间距对平衡值的偏移：。晶体的形变可以用一个简单模型来表示：原子质量为M而相邻原子间有弹性系数(ElasticCoefficient)为K的弹簧相连。FKrrrrijijij(||||)00简谐近似——只考虑最近邻原子之间的相互作用研究固体中原子的振动时的两个假设:1、每个原子的中心的平衡位置在对应Bravais点阵的格点上。2、原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可以用谐振近似.在谐振近似(HarmonicApproximation)下,晶体中原子振动有精确解,大部分符合实验观测的结果。原子的振动——晶格振动在晶体中形成了各种模式的波－格波latticevibrationwave,其基本思想如下：——简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密顿量之和——这些谐振子的能量量子，称为声子——晶格振动的总体可看作是声子的系综——用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式——这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的1912年玻恩和卡门建立了晶格动力学理论或晶格谐振理论1、一维单原子链——声子的概念晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式——格波格波的研究——先计算原子之间的相互作用力——根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程绝热近似——用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响——将电子的运动和离子的运动分开考虑二、晶格动力学－－latticedynamics一维无限原子链—每个原子质量m，平衡时原子间距a——原子之间的作用力第n个原子离开平衡位置的位移第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移第n个原子和第n＋1个原子间的距离平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移后，相互作用势能——常数——平衡条件简谐近似——振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力原子的运动方程:——只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力第n个原子的运动方程2112(2)(1,2,3,)nnnndmdtnN——每一个原子运动方程类似——方程的数目和原子数相同224sin()2aqm方程解和振动频率设方程组的解naq—第n个原子振动位相因子得到和n无关，表明N个联立方程归为一个方程格波的意义：连续介质波波数2q——格波和连续介质波具有完全类似的形式——一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动)(naqtinAe)2(sin422aqm格波的波速——波长的函数——一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱晶格的运动行为可用格波方程表示：——简谐近似下，格波是简谐平面波)(naqtinAe——向上的箭头代表原子沿X轴向右振动——向下的箭头代表原子沿X轴向左振动格波的波形图：格波特点：格波波长格波波矢格波相速度格波方程不同原子间位相差相邻原子的位相差格波－晶格原子集体振动的行为：格波)2(sin422aqm波矢的取值和布里渊区的关系：相邻原子位相差——原子的振动状态相同格波2(Green)波矢格波1(Red)波矢相邻原子位相差相邻原子的位相差qaa——两种波矢的格波中，原子的振动完全相同波矢的取值相邻原子的位相差——第一布里渊区——只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件——一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样——实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点处理问题时要考虑到环链的循环性N很大，原子运动近似为直线运动优点：协调有限和无限的关系缺点：忽略了表面少数原子和内部原子的差别设第n个原子的位移再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移则有要求hNaq2——h为整数波矢的取值范围qaa22NhNh—N个整数值，波矢q——取N个不同的分立值——第一布里渊区包含N个状态a2NNaa/2/2每个波矢在第一布里渊区占的线度Naq2第一布里渊区的线度第一布里渊区状态数hNaq2波矢格波的色散关系：)2sin(2aqm频率是波数的偶函数色散关系曲线具有周期性——q空间的周期频率极小值0min频率极大值max2/m只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减——一维单原子晶格看作成低通滤波器色散关系格波——长波极限情况当——一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的色散关系一致qVElastic相邻原子之间的作用力格波传播速度/acma连续介质弹性波相速度/ElasticVK——连续介质的弹性模量和介质密度——长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波——晶格可以看成是连续介质长波极限情况K——伸长模量格波——短波极限情况——一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质短波极限下——相邻两个原子振动的位相相反长波极限下，相邻两个原子之间的位相差长波极限下短波极限下相邻两个原子振动位相差晶格原子集体振动模式－声子phonon的概念：声子——晶格振动的能量量子；或格波的能量量子为什么晶格振动的问题要用量子力学来处理？根据量子力学，判定一个系统是经典系统还是量子系统的一个重要判据为测不准关系，即：ΔE·Δt~ħ也就是说：看该系统的粒子能量涨落与具有该能量的时间涨落的乘积是否与ħ相当。对于晶格振动，在室温下获得的热激发的平均能量为KBT≈0.026ev;另一方面，晶格振动的最高频率所对应的周期大致为10-13s,因此，对于晶格振动，ΔE·Δt~2.6×10-15ev·s而ħ=h/2π=6.62/2π~1×10-15ev·s也就是说：对于晶格振动系统，ΔE·Δt是与ħ相当的，因此，晶格振动问题必须用量子力学的方法来处理。晶格原子集体振动模式－声子phonon的概念：一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为当这种振动模处于时，说明有个声子——声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用——晶格振动的问题声子系统问题的研究——每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的——声子系宗是无相互作用的声子气组成的系统——声子具有能量_动量，看作是准粒子晶格振动——声子体系2、一维双原子链——声学波和光学波一维复式格子的情形——一维无限长链——两种原子m和M_(Mm)____构成一维复式格子——M原子位于2n-1，2n+1，2n+3……——m原子位于2n，2n+2，2n+4……——同种原子间的距离2a____晶格常数——系统有N个原胞2121222(2)nnnnM[(2)][(21)]221itnaqitnaqnnAeandBe——N个原胞，有2N个独立的方程——两种原子振动的振幅A和B一般来说是不同的第2n+1个M原子的方程222121(2)nnnnm第2n个m原子的方程方程解的形式——A、B有非零的解，系数行列式为零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm第2n+1个M原子第2n个m原子方程的解}]sin)(41[1{)(21222aqMmmMmMMm——一维复式晶格中存在两种独立的格波}]sin)(41[1{)(21222aqMmmMmMMm}]sin)(41[1{)(21222aqMmmMmMMm}]sin)(41[1{)(21222aqMmmMmMMm}]sin)(41[1{)(21222aqMmmMmMMm——光学波——声学波——与q之间存在着两种不同的色散关系——一维复式格子存在两种独立的格波两种格波的振幅12222()4{1[1sin]}()mMmMaqmMmMaqmABcos22)(2aqmABcos22)(2——光学波——声学波相邻原胞之间位相差M和m原子振动方程q的取值:波矢q的值aqa22——第一布里渊区采用周期性边界条件22aNhq/a布里渊区大小22aNhqNaq——h为整数每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区允许的q值的数目NNaa/——晶体中的原胞数目——对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波——总的格波数目为2N：原子的数目:2Nq的取值色散关系的特点短波极限两种格波的频率212121min212121max)2()}(){()()()2()}(){()()(mmMMmmMMmMMmmM因为M＞m——不存在格波maxmin)(~)(频率间隙为：——一维双原子晶格叫做带通滤波器长波极限声学波应用)sin(2q