Chap213格林公式曲线积分与路径的无关性

格林公式、曲线积分与路径的无关性[e-mail]教学目标教学内容：格林公式第二型曲线积分与路线的无关性教学重点：熟练运用格林公式格林公式区域D边界曲线L的方向定理21.11格林公式格林公式的简单应用应用格林公式的关键点曲线积分与路线的无关性区域连通性分类曲线积分与路径无关的定义定理21.12定理的说明定理的应用区域D边界曲线L的方向区域D边界曲线L的方向沿边界行走时，若区域D总在左边，则称行走方向为L的正方向，记为L与之相反的方向称为L的负方向，记为-LD1L2LDLL由1L与2L组成逆时针方向逆时针方向顺时针方向定理21.11格林公式定理21.11设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。公式(1)称为格林(Green)公式。(1)LDQPdxdyPdxQdyxy,,PxyQxy分析分析只须证明LDPdxdyPdxyLDQdxdyQdyx及(1)若区域D既是x－型又是y－型yxOD(2)若区域D由如图的按段光滑的闭曲线L围成。LD(3)若区域不止由一条闭曲线所围成。3L2L1L12{(,)()(),}Dxyxyxaxb12{(,)()(),}DxyyxycydyxOabDcd)(1xy)(2xyABCE)(2yx)(1yx(1)若区域D既是x－型又是y－型证明：1:()ACByx曲线2:()AEByx曲线1:()CAExy曲线2:()CBExy曲线证明(1)DQdxdyx21((),)((),)ddccQyydyQyydy(,)CBEQxydy(,)(,)CBEEACQxydyQxydy(,)LQxydy同理可证(,)LDPdxdyPxydxy21()()dycyQdydxxyxOd)(2yxDcCE)(1yxBA(,)CAEQxydyLDQdxdyQdyx两式相加得(1)(2)证明(1)LD(2)1L2L3L1D2D3DLDQdyPdxdxdyyPxQ)(123()()DDDDQPQPdxdydxdyxyxy若区域D由如图的按段光滑的闭曲线L围成。将D分成三个既是型又是x123,,.DDD型的区域y证明(2)23()()DDQPQPdxdydxdyxyxy1LABPdxQdyPdxQdyLQdyPdx),(32,1来说为正方向对DLLLL1L2L3L1D2D3DABC2LCAPdxQdyPdxQdy3LBCPdxQdyPdxQdy1()()DDQPQPdxdydxdyxyxy＝D证明(2)GD3L2LFCE1LAB(3)由(2)知DdxdyyPxQ)(2ABBALCAEFC3()CGALECPdxQdy若区域不止由一条闭曲线所围成。添加直线段AB,CE，则D的边界曲线由AB,2,L,BAAFC,CE,EC及CGA构成。3,L231))((LLLQdyPdxLQdyPdx),(32,1来说为正方向对DLLL证明(3)简单应用格林公式的简单应用简化曲线积分（例1）简化二重积分（例2，例3）计算平面面积（例4）xyOL1）简化曲线积分ABDLOAABBO应用格林公式,xQP,0有解引入辅助曲线L,,ABxdy例1计算其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限部分。Lxdy,BOABOAxdyxdyxdyDdxdy＝OAxdyABDxdydxdy21.4rBOxdy0,0,由于例12）简化二重积分xyOAB11DDydxdye2(0,0),(1,1),OA例2计算,其中D是以为顶点的三角形闭区域。(0,1)B2,0yxeQP解2yeyPxQ则22ABByyDOOAedxdyxedy2yOAxedy).1(211e210xxedx例222Lxdyydxxy例3计算,其中L为一条分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。.OxyLOx1LL例3例3计算Lyxydxxdy22,其中L为(1)任一不包含原点的闭区域的边界线,L的方向为逆时针方向.(2)任一包含原点的闭区域的边界线，L的方向为逆时针方向.例3解记L所围成的闭区域为D，令2222,yxPQxyxy则当022yx时,22222()Qyxxxy.Py有22LxdyydxxyxyOLD22Lxdyydxxy由格林公式知(1)D)0,0(当时,0.例3DQPdxdyxyL1Drl作位于D内圆周222:ryxl,yxO(0,0)D当时,(2)记1D由L和l所围成,由格林公式,得QPxy22220,Llxdyydxxdyydxxyxy(l逆时针方向),所以例3lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyOr1DlL.22222220cossinrrdr222:ryxl例3LDydxxdydxdy23）计算平面面积格林公式:().LDQPdxdyPdxQdyxy取,,PyQx得闭区域D的面积1.2LAxdyydx取,,0xQP得.LAxdy取,0,QyP得.LAydx计算平面面积平面面积计算公式解12LAxdyydx12ONAxdyydx)0()(2aaxyx例4计算抛物线与x轴所围成的面积。)0,(aANMOONA为直线0y.曲线AMO由函数,yaxx表示,[0,]xa12AMOxdyydx1(1)()22axdxaxxdxax12AMOxdyydxa004aaxdx21.6a例4应用格林公式的关键点应用格林公式的几个关键点1.先作图并检查是否封闭曲线；2.找P(x,y)及Q(x,y),并检查是否满足定理的条件;3.根据格林公式化为二重积分并求出其值;4.若有添加直线或曲线，则要求出该直线或曲线积分，再求题目要求的值。区域连通性分类区域连通性分类设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD曲线积分与路径无关定义Gyxo1LPdxQdy2LPdxQdy1L2LBA如果在区域G内有与路径有关.LQdyPdx则称曲线积分在G内与路径无关，否则闭曲线的曲线积分为零）G内任意（或沿定理12(,)Qxy在G内具有一阶连续偏导数,闭曲线的曲线积分为零）PQyx在G内恒成立.设区域G是一个单连通域,LQdyPdx在G内与路径无关证充分性设,(,),PQxyGyx对G内任一闭曲线C,由G的单连通性可知：C所围成(,),Pxy函数则曲线积分G内任意（或沿的充要条件是定理21.12证明的闭区域D全部在G内，由格林公式得CDQPPdxQdydxdyxy0必要性设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零，用反证法证。倘若上述结论不成立，则在G内至少存在一点0,M使00MQPxy不妨设00.MQPxyPQyx可以在G内取一个以0M在G内连续，由于,PQyx证明为圆心、半径足够小的圆形闭区域K，.2QPxy由格林公式及二重积分的性质得KQPPdxQdydxdyxy其中是K的正向边界曲线，是K的面积。因为0,0,于是0.PdxQdy,2这与已知矛盾。所以使得在K上恒有设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零，.PQyx证毕定理21.12(全微分求积)定理12设区域G是一个单连通域,dyyxQdxyxP),(),(在G内为某一函数),(yxu的全微分的充要条件是xQyP在G内恒成立.在G内具有一阶连续偏导数,(,)Qxy(,),Pxy函数则等式定理的说明两条件缺一不可。定理的说明：(1)区域G是一个单连通域.偏导数.(2)函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续L所围成的区域含有原点时，22,Lxdyydxxy如例3中的积分虽然除去原点外，恒有,QPxy但沿闭曲线L的积分222Lxdyydxxy0定理的说明解23.15例5由点)0,0(O到点)1,1(B的曲线弧sin.2xy其中L为xQyP原积分与路径无关。xy(1,1)B(1,0)COPyxyxxxQ2)(42224(2)().Lxxydxxydy计算2(2)xxyy2x120xdx故原式140(1)ydy例5解2()Pxyyy()Qyxxx,),(2xyyxP(,)(),Qxyyx例6其中具有连续的导数,计算(1,1)2(0,0)().xydxyxdy因积分与路径无关.PQyx2()Lxydxyxdy与路径无关,设曲线积分(0)0,且2,xy(),yx例6即()2yxxy2(),xxc由0)0(知0,c2)(xx100dx.21故(1,1)2(0,0)()xydxyxdyxy(1,1)B(1,0)CO10ydy例6(1,1)22(0,0)xydxyxdy小结1.区域D边界曲线L的方向；连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用（注意几个关键点）4.曲线积分与路径无关条件LDQdyPdxdxdyyPxQ)(——格林公式;小结4.曲线积分与路径无关条件与路径无关的四个等价命题条件(1)LDPdxQdy在内与路径无关(2)0,CPdxQdyCD闭曲线(4),PQDyx在内等价命题(,)uxyduPdxQdy(3)在D内存在函数使连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.在单连通开区域D上(,),(,)PxyQxy具有思考题LQPdxdyPdxQdyxy若区域如图为复连通域，思考题OxyABCDEFG试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题解答思考题解答由两部分组成L外边界：内边界：BCDABEGFEOxyABCDEFG