Chap7FIR数字滤波器的设计.

第七章有限脉冲响应（FIR）数字滤波器的设计IIR滤波器：具有优良的幅度特性FIR滤波器的特点：稳定和线性相位系统传输函数H(ej)H(ej)=|H(ej)|ej()幅度特性|H(ej)|相位特性：()§1、线性相位FIR数字滤波器线性相位特性：–第一类线性相位：()＝－–第二类线性相位:()＝－+0(0是初始相位)一、线性相位滤波器中输入与输出的关系推导：得到：y(n)=x(n-)表明：线性相位滤波器不会改变输入信号的形状，只是将输入信号在时域上延迟了个采样点。二、线性相位滤波器的特点：1、线性相位滤波器的时域特性（条件）：P.197h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称或奇对称–第一类线性相位：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称–第二类线性相位：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称结论：对于任意N－1阶的线性相位滤波器，均获得相位延迟＝(N-1)/2的线性相位特性。2、线性相位FIR滤波器的频域特性：H(ej)=|H(ej)|ej（－+）2021或＝＝N三、线性相位FIR滤波器的分类根据两类线性相位、h(n)长度N的奇偶分为四类：1)h(n)=h(N-n-1)，N为奇数（书上推导）2)h(n)=h(N-n-1)，N为偶数（推导：……）3)h(n)=-h(N-n-1)，N为奇数4)h(n)=-h(N-n-1)，N为偶数总结：见P.198表7.1.1线性相位滤波器时域特性图例1、N为奇数的偶对称：例如N=11，对称中心为2111)10()(nhnhn0123456789102、N为偶数的偶对称：例如N=10，对称中心为2110)9()(nhnhn01234567893、N为奇数的奇对称：例如N=11，对称中心为2111)10()(nhnhn0123456789104、N为偶数的奇对称：例如N=10，对称中心为2110)9()(nhnhn0123456789以Type2为例：N为偶数，h(n)偶对称10)()(NnnznhzH12220)()(NNnnNnnznhznh220)1(220)()(1NmmNNnnzmhznhnNm令][)()1(220nNNnnzznh][)()())1((220njNjNnnjjeenheH][)()21(220)21(21NnjNnNnjNjeenhe])21([)(222021NnNjNnCosnhe])21([)(222121NmNjmCosmhenNm令频域特性表)(jeH21)()1()(NnNhnh)(2)()()0(2121nhnahaNN，其中，21021)()()(NnNjjnCosnaeeH2)()1()(21NnNhnhTypeh(n)NI第一类N为奇数II第二类N为偶数III第三类N为奇数IV第四类N为偶数211221)()(nCosnbeeHNNnjj)(2)(2nhnbN其中，nSinnceeHNNnjj212211)()()()(2)(21nhncN其中，)(2)(2nhndN其中，211)(2221)()(nSinndeeHNNnjj表7.1.1线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位特性一览表第一类：对于＝0、、2皆为偶对称第二类：对于＝呈奇对称且幅度为0，不适用于高通和带阻第三类：对于＝0、、2皆为奇对称且幅值为0，带通可以用第四类：对于＝0、2呈奇对称且幅度为0，＝处呈偶对称，低通、带阻不能用四、线性相位滤波器的零点位置推导：10)()(NnnznhzH10)1()1(1NmmNzmNhnNm令10)1()()(NmmNzmhzzH)(1)1(zHzN10)()(NnnznhzH10)1()1(1NmmNzmNhnNm令10)1()()(NmmNzmhzzH)(1)1(zHzN当h(n)偶对称，所以，当h(n)奇对称，所以，综合两种情况，得)()(1)1(zHzzHN推导：结论：1.Zi是零点，那它的倒数1/Zi也是H(z)的零点；2.另外，当h(n)是实数时，H(z)的零点成共轭对出现。线性相位滤波器的零点位置分布图一般位置上：.1*1*1iizizizz，，但不在实轴上：单位圆上，.2*1*1iizizizz不在单位圆上：实轴上，但.3*11*iizziizz且在实轴上：单位圆上，.4*1*1iizizizz设N为偶数，则有五、线性相位FIR滤波器网络结构(5.5.2)(5.5.3)10)1(2])[()(NnnNnzznhzH设N为奇数，则有2121)(])[()(2110)1(NNzhzznhzHNnnNnx(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N/2－1)x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h((N－1)/2)N＝偶数N＝奇数P.135图5.5.1第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N/2－1)x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h((N－1)/2)N＝偶数N＝奇数－1－1－1－1－1－1－1－1－1图5.5.2第二类线性相位网络结构§2、利用窗函数法设计FIR滤波器一、窗函数设计法：1、基本原理：寻求系统单位脉冲响应h(n)，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应Hd(n)。deeHnhenheHnjjddnnjdjd)(21)()()(理想的：10cc)(jdeHn)(nhd且非因果的。是一无限长序列，)(nhd因果系统有限长而我们所要求设计的是)2()1(，并移位，断最简单的方法就是：截)(nhdn010)()(其它，，得：Nnnhnhd)()()(nwnhnhd即：（线性相位）其中：21N窗函数：在这里是矩形窗。逼近。应的频域上也有一定的时域上的逼近，导致对')()(21)()'('deWeHeHjjdj应为：所设计滤波器的幅频响的乘积。”和一个有限长“窗序列是无限长序列窗函数设计法：)()()(nwnhnhd2、理想低通加窗后对幅频特性的影响：（图示）(1)理想幅频特性的陡直边沿被加宽，形成过渡带；过渡带：是由窗函数的主瓣宽度引起的。N越大－窗函数的主瓣宽度越小－过渡带带宽越小(2)过渡带两侧附近产生起伏的肩峰和纹波；肩峰和纹波：是由窗函数的旁瓣引起的。旁瓣相对值越大－纹波起伏就越大旁瓣相对值：完全取决与窗函数的形状，与N无关。（吉布斯效应）结论：为了提高滤波器的性能，尽可能要求窗函数：i.主瓣宽度尽量窄－获得较陡的过渡带ii.旁瓣相对值尽量小－改善通带的平稳度和增大阻带的衰减二、常用的几种窗函数及其性能P.2071、Rectangularwindow：2、Hanningwindow：)()()(nwnRnwRN)2sin(/)2sin()(NWR10))]1/(2(1[)(21NnNnCosnwHan，)12(41)12(41)(21)(NWN（升余弦窗）3、Hamming：4、Blackman：10))]1/(2(46.05.0)(NnNnCosnwHam，)12(23.0)12(23.0)(54.0)(NWN)()14cos(08.0)12cos(5.042.0)(nRNnNnnwNB)]14()14([04.0)]12()12([25.0)(42.0NWNWNWN（改进升余弦窗）（二阶余弦窗）窗函数图续窗函数图RectangularHanningHammingBlackman几种窗函数图比较窗函数频域特性图1窗函数频域特性图2性能比较表：由图比较：（结论见P.211表格7.2.2）窗函数频域特性1窗函数频域特性2见P.207图7.2.510cc)(jdeH0N2N2)(RW0)(H幅频特性加窗后的影响图示窗函数的主瓣旁瓣旁瓣三、窗函数法设计FIR滤波器的步骤1.根据技术要求确定窗函数w(n)的形式；2.根据过渡带宽确定加窗的宽度N；=2-1N4P/3.确定脉冲响应移位系数＝(N-1)/2h(n)4.根据h(n)的特性及N的奇偶性H()；5.审核验证技术指标是否满足：•如不，则重取较大N进行，重复步骤3、4•如有余，则选取较小N，重复3、4重新计算。)()()]([)(nwnnSinnhc例题：根据下列技术指标，设计一个FIR通带截止频率ωp=0.2π，通带允许波动p=0.25dB；阻带截止频率ωs=0.3π，阻带衰减s=50dB。例7.2.1（P.212）用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,ωc=0.2πrad。解：用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有sin(())(),010()1(1)52sin(0.2(5))(),010(5)cddnhnnnNnhnnn用汉宁窗设计：()()(),0102()0.5(1cos)10dHnHnhnhnnnnn用布莱克曼窗设计：11()()()22()(0.420.5cos0.08cos)()1010dBlBlhnhnnnnnRn图7.2.7例7.2.1的低通幅度特性0.3n0.20.1－0.10hd(n)20406010.30.20.10－0.1020406080h(n)(c)0.80.60.40.20020406080w(n)(a)nn(b)500－50－100－150(d)20lg|H(ej)|/|H(ej0)|/dB8000/2窗口法设计的主要优点：•简单，使用方便；•窗口函数大多有封闭的公式可循，性能、参数都已有表格、资料可供参考；•计算程序简便，所以很实用。缺点是：通带和阻带的截止频率不易控制。§3、频率取样法设计FIR滤波器一、频率取样法设计思想：1、基本原理：（频域采样理论）一个有限长序列，可以通过其频谱的等间隔采样值准确地恢复出原有序列。2、设计过程：•在频域中，对理想的频率响应等间隔采样；•以Hd(k)作为实际滤波器频率特性的采样值H(k)，(k=0,1,…，N-1)•由H(k)通过IDFT变换可求出有限长序列h(n)、H(z)、H(ω)kjddNeHkH2)()()()(kHIDFTnh11011)(1)(ZWZkHNzHkNNNk)()()(10jkNkjekHeH图例（N＝23）：3、优缺点：•优点：理论上能设计任意频率响应的FIR滤波器；•缺点：抽样频率只能等于2π/N的整数倍；用Hd(k)直接来代替H(k)，由于在通带边缘处抽样值的陡然变化而引起起伏振荡。二、优化设计1.误差分析：由采样点的值通过内插函数延伸叠加而成，会产生误差。2.改进措施：（1）在频率响应不连续点的边缘处增加一些过渡采样点；图例结果：可以增加阻带的衰减（即减少阻带的起伏