Chapter+5中国科学院大学现代数字信号处理课程课件

第五章时频分析5.1引言5.2短时傅里叶变换5.3Gabor变换5.4小波变换5.5Wigner-Ville分布5.6Cohen类时频分布5.7HHT变换技术引言解析信号瞬时频率不确定原理信号的分解与变换Fourier变换和反变换对信号或频谱的全局变换。对时变信号，由傅立叶变换求出的频率将不能反映出信号频率随时间变化的特性。*22,(),(),defjftjftfxgxfxgxdxSfstestSfe信号f(t)的解析信号是其频谱的右半轴对应的信号的两倍定义一个信号f(t)的解析信号如下：z(t)=f(t)+j其中，是信号f(t)的希尔伯特变换则Z(f)=F(f)+j(-jsgn(f))F(f)=F(f)(1+sgn(f))=2F(f)U(f)[1]即信号f(t)的解析信号是其频谱的右半轴对应的信号的两倍-101RealpartSignalintime0797515951LinearscaleEnergyspectraldensity5010015020025030035000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=48,Nf=192,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]1121232sin(),01()sin(),1sin(),1nnNxnnNnNnNnN对于实信号s(t)，它的Hilbert变换为：11ˆsststhtstdttˆjtztstjstate22ˆatststˆarctansttst由此可得解析信号为：幅值和相位分别为：Hilbert变换器的传输函数为0()000jfHffjf或者H(f)=-jsgn(f)式中10sgn()0010ffffZ(f)=S(f)+jH(f)S(f)=S(f)［1+jH(f)］得到2()0()()000SffZfSfff上式表明,解析信号的频谱只分布在正频率范围，是由实信号频谱的正的部分乘以2构成的;负频率部分为0。瞬时频率：表征了信号在局部时间点上的瞬态频率特性，整个持续期上的瞬时频率反映了信号频率的时变规律。dttdt傅立叶频率和瞬时频率的区别：傅立叶频率是一个独立的量，而瞬时频率是时间的函数；傅立叶频率和傅立叶变换相联系，而瞬时频率和Hilbert变换相联系；傅立叶频率是一个“全局性”的量，它是信号在整个时间区间内的体现，而瞬时频率是信号在特定时间上的“局部”体现。例1信号称为线性频率调制信号，在雷达领域又称作chirp信号。该信号的瞬时频率为，正比于时间，故该信号的频率是时变的。2()exp()xtjt()2itt-0.500.51RealpartSignalintime0182365LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4WV,lin.scale,contour,Threshold=5%Time[s]Frequency[Hz]对于能量有限信号，其时宽和带宽的乘积总能满足下面的不等式，即π41ft式中，Δt表示信号有效持续时间，Δf表示信号的有效带宽。对于窗函数，它的时间宽度和在频率域的宽度不能同时任意小。也就是说,频域分辨率和时域分辨率不能同时任意小，即不可能存在既是带限又是时限的信号波形。线性空间、赋范线性空间、希尔伯特空间向量空间、向量、基向量向量组的线性相关与线性独立正交向量组完备性标架设H是由一组向量N,......,,21所张成的希尔伯特空间，即12{,,......,}NHspan6.信号的分解与变换——信号的分解：信号x可以看成是空间H中的一个元素，它可以是连续信号，也可以是离散信号。12,,......,HN若是线性独立的，则称它们是中的一组“基”。Nnnnx1x可将按这样一组向量进行分解，即12,,......,Nx若是一组两两互相正交的向量，可将按上式进行12,,......,Nx正交分解，分解系数是在各个基向量上的投影。123123x信号的正交分解6.信号的分解与变换——信号的变换：*(),()()()jjjxtgtxtgtdt正交信号变换：使用正交基向量的信号变换。在信号的分解和变换中使用同一组基向量；非正交信号变换：使用非正交基向量的信号变换。在信号的分解和变换中使用两组不同的基向量。11,,NNgg假设在空间H中另有一组向量N,......,,21jijiji01,双正交变换：双正交关系：双正交描述的是两组向量之间的正交关系，但两个向量本身或者说每一组向量之间并不一定具有正交关系。ˆnn称是的对偶向量1ˆ2ˆ210.5120.5两组二维向量的双正交关系12211122,,1,,1jnjnnjnnnjx,,,dtttxttxjjj)()()(),(*)()()(),(*nnxnnxjjj或Nnnnx1j用对上式两边做内积，有信号的变换结果为：Nnnnx1,jjx11,,NnnnNnnnxxxxˆ,ˆnnnnnnnnnxxxxx这样，可以看作在基向量上的投影。反映了信号和之间的相似性，若和越接近，则越大。正交变换时，是在上的投影，即在上的准确投影。正交信号变换：在信号的分解和变换中使用同一组基函数，且这组基函数是正交基；非正交信号变换：在信号的分解和变换中使用两组不同的基函数，它们都是非正交基；双正交信号变换：在信号的分解和变换中使用两组不同的非正交基函数，但这两组基函数彼此正交（双正交）。设是Hilbert空间H中的一组向量，如果存在常数A0和B∞，对任一信号，若使得成立，则称构成空间H中的一个标架。式中A，B称为标架界。}{nHx222|||||,|||||xBxxAnn}{n标架是Hilbert空间中的一组向量分解的完备性和信号重建的稳定性不一定是正交基，可能是线性独立的，也可能是线性相关的，分解系数可能存在信息冗余。信号变换的唯一性和连续性、信号反变换的连续性0AB标架界满足：{,}nnZ一个函数系{φj(t)}，定义线性变换[Tx]j=〈x(t),φj(t)〉，简单记作〈x,φj〉,j∈Z。如果要求能够用Tx表征x，则该变换应该至少能够满足下列条件：(1)惟一性：如果x1=x2，则Tx1=Tx2必定成立。(2)正变换的连续性：如果x1与x2很接近，则Tx1与Tx2也很接近，这就要求22|,|||||,0jjxBxB(3)反演连续性：当Tx1与Tx2十分接近时，x1,x2也十分接近。即要求：22|,|||||,0AjjxAx概括起来，得到如下条件:jjxBxxA222|||||,|||||满足这个条件的函数系{φj(t)}便称为构成一个“框架”。特例：当A=B时,称之为“紧框架”（TightFrame），如果A=B=1，则有。此时满足，即此时各个φj构成一组规范正交基。22|||||,|xAxjj22|||||,|xxjj,ijjiRiesz基：设有［φj|j∈Z］，满足如下要求：（1）222,0jjjjjzjzjzAccBcAB（2）当0jzjjc时,便有cj=0，也就是要求［φj|j∈Z］是一组线性独立的基。此时称［φj|j∈Z］为一组Riesz基。*-j2*j2j2,STFT(,)()()e(),e,()e,()fuzfufutftfzugutduzugutzugutzugutgut不断地移动，即不断地移动窗函数的中心位置，取出信号在分析时间点附近的傅立叶变换（称之为“局部频谱”）。5.2短时傅里叶变换1、STFT的定义：2j2j2,-j2*j2ee1STFT(,)ee2jvftfuvutfftvtzGvgutduGvfeGvftfZfGvfdv－频域加窗：2、STFT的时间、频率分辨率由定义可知，STFT实际分析的是信号的局部谱，局部谱的特性决定于该局部内的信号，也决定于窗函数的形状和长度。,022222,,022222,,()|()||()|,11()|()||()|22tfutftftfguututguduuguduGvvffGdGd基函数的时间中心为时宽为基函数的频率中心为带宽为时宽和带宽与时间中心和频率中心无关，不管移到何处，时频平面的分辨率不变。1()1,STFT(,)zguuGfftfZfSTFTFT例、若,则，则即减为简单的，不能给出任何时间定位信息。-0.500.5RealpartSignalintime084168LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=63,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]图2.1.3窗函数无限宽时STFT缺少时域定位功能注：见胡广书《现代信号处理教程》图2.1.3-j22()STFT(,)()eSTFT(,)()ftzzguutfztSTFTtfztSTFT例、令，则可实现时域的准确定位，即的时间中心就是的时间中心，但无法实现频域的定位。-0.500.5RealpartSignalintime084167LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=0,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]图2.1.4窗函数无限窄时STFT缺少频域定位功能注：见胡广书《现代信号处理教程》图2.1.4-0.500.51RealpartSignalintime020454091LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=27,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]-0.500.51RealpartSignalintime020454091LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=6,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]图2.1.5窗函数宽度对时－频分辨率的影响注：见胡广书《现代信号处理教程》图2.1.5（a）窗函数宽度为55（b）窗函数宽度为13由于受不确定原理的制约，窗函数的有效时宽和带宽不可能同时任意小，窗宽应该与信号的局域平稳长度相适应。对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。*ztgtZfGf3.谱图：一般把短时傅里叶变换模的平方称为谱图，它是一种能量分布函数，不