chapter1_3

1.6时间序列信号模型三种时间序列模型三种时间序列信号模型的适应性自相关函数、功率谱与时间序列信号模型的关系图1.6.1平稳随机序列的信号模型H(z)w(n)x(n)1.6.1三种时间序列模型假设信号模型用一个p阶差分方程描述:x(n)+a1x(n-1)+…+apx(n-p)=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)式中,w(n)是零均值、方差为σ2w的白噪声;x(n)是要研究的随机序列。（1.6.1）1.自回归-滑动平均模型（简称ARMA模型）该模型的差分方程用（1.6.1）式描述，系统函数用下式表示：111()()()1qiiipiiibzBzHzAzaz式中，是自回归参数，叫做滑动平均参数。iaib利用维纳辛钦定理给出其功率谱密度为1121()()()()()()()()xx类似地，可得功率谱为22()()()jxxwjBePAe图1.6.1ARMA(p,q)随机过程模型1b2()wwkwhitenoisewithpowerZ-1Z-1Z-1Z-12b1qbqb2.滑动平均模型（MovingAverage，简称MA模型）当（1.6.1）式中ai=0,i=1,2,3,…,p时,该模型称为MA模型。模型差分方程和系统函数分别表示为：x(n)=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)H(z)=B(z)B(z)=1+b1z-1+b2z-2+…+bqz-q…上式表明该模型只有零点,没有除原点以外的极点，因此此模型也称为全零点模型。如果模型全部零点都在单位圆内部，则是一个最小相位系统。MA模型的功率谱密度为21()()()xxwPzBzBz类似地，可得功率谱为22()()jxxwPBe图1.6.2MA(q)随机过程模型1b2()wwkwhitenoisewithpowerZ-1Z-1Z-1Z-12b1qbqbx(k)3.自回归模型（Autoregressive,简称AR模型）当（1.6.1）式中bi=0,i=1,2,3,…，q时，该模型称为AR模型。模型差分方程和系统函数分别表示为：x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)+…+apx(n-p)=w(n)1()()HzAzA(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+apz-p上式表明该模型只有极点,没有除原点以外的零点，因此该模型也称为全极点模型。只有当全部极点都在单位圆内部时，模型才稳定。AR模型的功率谱密度为21()()()wxxPzAzAz类似地，可得功率谱为221()()xxwjPAe图1.6.3AR(p)随机过程模型1a―x(k-1)x(k-2)x(k-p+1)x(k-p)2()wwkwhitenoisewithpowerZ-1Z-1Z-1Z-12a1papax(k)关于ARMA、AR、MA模型的功率谱，可以做一个定性的描述：由于MA模型是通过一个全零点滤波器产生，当有零点接近单位圆时，MA谱可能是一个深谷；类似地，当极点接近单位圆时，AR谱对应的频率处会是一个尖峰；ARMA谱既有尖峰又有深谷。滤波器长度：一般是指滤波器的单位脉冲响应的长度。对于FIR滤波器或者MA模型,其单位脉冲响应的长度是有限长的，长度就是系数的个数；对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，其单位脉冲响应的长度则是无限长的。滤波器阶数：对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，阶数是指p的大小，如果用差分方程表示，则p就是差分方程的阶数。对于FIR滤波器或者MA模型的阶数，则是指q的大小，或者说是它的长度减1。1.6.2三种时间序列信号模型的适用性沃尔德（Wold）分解定理：任意一个实平稳随机序列x(n)均可以分解成：x(n)=u(n)+v(n)，式中u(n)是确定性信号,v(n)是具有连续谱分布函数的平稳随机MA序列。由Wold分解定理可知，AR模型或ARMA模型可用一个可能是无穷阶的MA模型表示，说明MA信号模型和ARMA信号模型具有普遍适用的性质。柯尔莫格洛夫（Kolmogorov）定理：该定理暗示了MA模型或ARMA模型可用一个可能是无穷阶AR模型来表示，从而说明了AR信号模型的适用性。任意一个MA序列可用无限阶AR信号模型表示，或者用阶数足够大的AR信号模型近似表示。证明如下：b0=1对上式进行Z变换得到X(z)=B(z)W(z)设MA序列为)()(0inwbnxii这样X(z)G(z)=(1+g1z-1+g2z-2+…)X(z)=W(z)对上式进行Z反变换，得到x(n)+g1x(n-1)+g2x(n-2)+…=w(n)上式表示的就是x(n)的AR信号模型差分方程，因此证明了一个时间序列可以用有限阶MA信号模型表示时，也可以用无限阶的AR模型表示。B-1(z)=G(z)=1+g1z-1+g2z-2+…设MA信号模型满足可逆性条件，即B-1(z)存在，令)(11)(2211zWzgzgzX对于ARMA模型也可以用无限阶AR模型表示。设AR模型系统函数用HAR(z)表示：令HAR(z)=H(z),即可以求出ci系数1111)(azbzzH1AR11)(iiizczH1111111bzazzcii1))((0111}{,111111011ibbaicbzazTZcbzazzciiiiii一个ARMA模型可以用一个MA模型来表示：111()1bzHzaz用MA模型表示：1111011MA))((111T,11)(iiiiiiaabdazbzZdazbzzdzHi=0i≥1一般AR模型适合表示时间序列的功率谱有尖峰而没有深谷的信号，MA模型适合表示其功率谱有深谷而没有尖峰的信号，ARMA模型则适合尖峰和深谷都有的情况。1.6.3自相关函数、功率谱与时间序列信号模型的关系21()()()xxwPzHzHz(1.6.7)实平稳随机信号x(n)的功率谱为：如何按照上式唯一地分解出一个因果稳定的模型系统函数H(z)，是本节要讨论的问题。有理谱信号：如果信号模型输出的功率谱是ejω或者cosω的有理函数，这种信号称为有理谱信号。谱分解定理如果功率谱Pxx(ejω)是平稳随机序列x(n)的有理谱，那么一定存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z),满足式中，ak,bk都是实数，a0=b0=1,且|αk|＜1,|βk|＜1。pkkqkkpkkkqkkkzzzazbzAzBzH111100)1()1()()()()()()(12zHzHzPwxx02w例1.6.1已知有理谱如下式：我们把所有可能的分解形式写出来：(1)(2))5.0e)(5.0e()2.0e)(2.0e()e(j-j-jjjxxP)()()5.0z)(5.0()2.0z)(2.0()(121-1-zHzHzzzPwxx5.02.0)(zzzH5.02.01)(zzzH(3)(4)在以上四种分解情况中，只有（1）满足极零点均在单位圆内部，因此按照谱分解定理的约束条件，只能唯一地分解出一个零极点均在单位圆内部的系统函数。如果没有零极点均在单位圆内部的约束条件，分解便不是唯一的。另外，按照谱分解定理分解出H(z)一定是最小相位系统，它保证了模型的可逆性，即逆系统存在。zzzH5.012.0)(zzzH5.012.01)(分解方法：我们知道功率谱是cosω的函数，为了对功率谱进行谱分解，下面介绍一种分解方法：（1）用φ代替cosω，得到有理函数V(φ)；（2）求出V(φ)分子、分母的全部根φi;（3）构造对每个φi的方程:该方程有两个根：Zi和1/Zi，其中Zi是单位圆内的根；izz)(211（4）用单位圆内部极零点构成H(z)，零点是分子多项式的根Zi，极点是分母多项式的根Zj，常数C由功率谱Pxx(ejω)确定。jjiizzzzCzH)()()(例1.6.2已知x(n)的功率谱求其模型的系统函数。解：（1）令φ=cosω，则(2)cos610cos45)e(jωxxP61045)(V610,061045,04521(3)(4)21,21,45)(21111zzzz31,31,610)(21221zzzzcos610cos454931e21e31e21e)e()e(31312121)()(,3121)(2j-j-jj2j-j1121CCHHzzzzCzHzHzzCzH设σ2w=1，对比给定的功率谱，得到：C=2/3，模型系统函数为也可以假定σ2w=4/9，此时模型系统函数为这样得到的模型系统函数的常数因子不同，但常数因子仅影响其幅度大小，不影响问题实质。1131121132)(zzzH11311211)(zzzH自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间的关系：rxx(m)Pxx(z)H(z)Z变换Z反变换谱分解21()()()xxwPzHzHz自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间关系补充：一个2阶过程x(n)=0.8x(n-1)+0.48x(n-2)+v(n)，其中，v(n)是均值为0，方差为1的白噪声，求H(z)，Pxx(z)