Chapter4_2_牛顿插值和Hermite插值

§4.4牛顿插值（Newton’sInterpolation）Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)都需要重新计算。能否重新在Pn中寻找新的基函数？希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。本讲主要内容:●Newton插值多项式的构造●差商的定义及性质●差分的定义及性质●等距节点Newton插值公式｛1,x-x0,(x-x0)(x-x1)，…，(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)｝是否构成Pn的一组基函数？01020101()()()()...()...()nnnNxAAxxAxxxxAxxxx利用插值条件Nn(xj)=f(xj),j=0,1，…，n代入上式，得关于Ak(k=0,1，…，n)的线性代数方程组基函数0010111000100()10()1()()nninniAfxxxAfxxxxxAfx当xj互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解10110()()fxfxAxx10212202110()()()()()/()fxfxfxfxAxxxxxxHowcomplextheexpressionare!Itisnotadifficultthingforamathematician.Wecanusenotation00()Afx差商(亦称均差)/*divideddifference*/),()()(],[jijijijixxjixxxfxfxxf称为在xi,xj处的1阶差商)(],[],[],,[kixxxxfxxfxxxfkikjjikji称为在xi,xj,xk处的2阶差商k阶差商：01112010[,,,][,,,][,,,]kkkkfxxxfxxxfxxxxx利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数Ai:00100011()()[,]()[,,]()()()nnnNxfxfxxxxfxxxxxxxx00010101()[][,][,,,]nnAfxfxAfxxAfxxx0010010001010101()()()()[,]()()[,]()()()[,,]()()()kkkkNxfxNxfxfxxxxNxfxxxxNxNxfxxxxxxxx因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。.xkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商……n阶差商差商表123onxxxxx0123[][][][][]nfxfxfxfxfx0112231[,][,][,][,]nnfxxfxxfxxfxx01212321[,,][,,][,,]nnnfxxxfxxxfxxx0123321[,,,][,,,]nnnnfxxxxfxxxx01[,,,]nfxxx例1:给定f(x)=lnx的数据表xi2.202.402.602.803.00f(xi)0.788460.875470.955511.029621.098611.构造差商表2.分别写出二次、四次Newton插值多项式解:差商表00755.001646.006400.034495.009861.100.302250.0073875.037055.002962.180.2087375.040010.095551.060.243505.087547.040.278846.020.2][四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商iixfxN2(x)=0.78846+0.43505(x-2.20)-0.087375(x-2.20)(x-2.40）N4(x)=0.78846+0.43505(x-2.20）-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)差商具有如下性质niiinxxfxxxf010)(')(,...,,性质1(差商与函数值的关系)00,,,,,,,,,,,,ijnjinfxxxxfxxxx性质2（对称性）：差商的值与结点排列顺序无关(1)01(),,...,(1)!nnfxxxxnf，01()[,]1,,,,,[,],[,]nfxabnxxxxabab设在上有阶导数且则存在使得性质3(差商与导数的关系)],[)()()(000xxfxxxfxf],,[)(],[],[101100xxxfxxxxfxxf],...,,[)(],...,[],...,,[0010nnnnxxxfxxxxfxxxf12…………n11+(xx0)2+……+(xx0)…(xxn1)n1...))(](,,[)](,[)()(102100100xxxxxxxfxxxxfxfxf))...(](,...,[100nnxxxxxxf))()...(](,...,,[100nnnxxxxxxxxxfNn(x)Rn(x)Ai=f[x0,…,xi]证明：(1)011()[,...,]()()(1)!nnnnffxxxxxn，(1)01(),,...,(1)!nnfxxxxnf，定理：Newton插值多项式的余项为Rn（x）=f[x0,x1,…xn，x]n+1（x）其中n+1(x）=(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn)由插值多项式的唯一性可知Nn(x)Ln(x)，故其余项也相同，即4.4.3等距节点的Newton插值公式与差分一阶向前差分/*forwarddifference*/一阶向后差分/*backwarddifference*/一阶中心差分/*centereddifference*/当节点等距分布时:),...,0(0nihixxi()()()iiifxfxhfx()()()iiifxfxfxh()()()22iiihhfxfxfx一般地,称k阶差分的差分为k+1阶差分,如二阶向前和向后差分分别为22()(())(()())()()(2)2()()()(())(()())()()()2()(2)iiiiiiiiiiiiiiiiiifxfxfxhfxfxhfxfxhfxhfxfxfxfxfxhfxfxhfxfxhfxh计算各阶差分可按如下差分表进行.2300110222102333210231230niiiiiinnnnnnxfffffxfxffxfffxffffxfffff其中差分具有如下性质00(1),(1)!!()!kkkjjkkjjikijkikijkjjjkfCffCfkCjkj性质1(差分与函数值的关系)各阶差分均可表示为函数值的线性组合:kkiikff性质2(前差与后差的关系):0,()!,0,nkknPknfxahnknkn性质3(多项式的差分)若f(x)∈Pn(n次多项式类),则性质4(差分与差商的关系):11[,,,]![,,,]!kiiiikkkiiiikkffxxxkhffxxxkh1()![,,,](),()kkiiiikkkiikfkhfxxxhfxx性质5(差分与导数的关系）020000()()(1)(1)(1)1!2!!nnnNxNxthttttttnffffn(11)称公式(11)为Newton向前差分插值公式,其余项为1(1)00(1)()()()()(1)!(,)nnnnntttnRxRxthhfnxx(12)利用这些性质,可将Newton公式进一步简化为11110()()()[,]()()()[,,]nnnnnnnnnNxfxxxfxxxxxxxxfxxx令x=xn-th,则当x0≤x≤xn时,0≤t≤n.利用差商与向后差分的关系,式(13)可简化为(13)如果将Newton插值公式改为按节点xn,xn-1,…,x0的次序排列的Newton插值公式,即(1)110()()()(1)(1)()(1)!nnnnnnnfRxRxthhtttnnxx其余项为注：一般当x靠近x0时用前插，靠近xn时用后插，故两种公式亦称为表初公式和表末公式。22()()(1)(1)2!(1)((1)(1)!nnnnnnnnnNxNxthttftfftttnfn称式(14)为Newton向后差分插值公式(14)例给定f(x)在等距节点上的函数值表如下:xi0.40.60.81.0f(xi)1.51.82.22.8分别用Newton向前和向后差分公式求f(0.5)及f(0.9)的近似值.解先构造向前差分表如下:xifi△fi△2fi△3fi0.41.50.61.80.30.82.20.40.11.02.80.60.20.1x0=0.4,h=0.2,x3=1.0.分别用差分表中对角线上的值和最后一行的值,得Newton向前和向后插值公式如下:33(1)(1)(2)(0.40.2)1.50.30.10.123!(1)(1)(2)(10.2)2.80.60.20.123!tttttNtttttttNtt(1)(2)当x=0.5时,用公式(1),这时t=(x-x0)/h=0.5.将t=0.5代入(1),得f(0.5)≈N3(0.5)=1.64375.当x=0.9时,用公式(2),这时t=(x3-x)/h=0.5.将t=0.5代入(2),得f(0.9)≈N3(0.9)=2.46875.