ch10数字签名与认证协议

第十章数字签名与认证协议1EIGamal签名方案该方案是特别为签名的目的而设计的。1985年提出，很大程度上为Diffe-Hellman密钥交换算法的推广和变形。这个方案的改进已被美国NIST（国家标准和技术研究所）采纳作为数字签名标准。方案：P为素数，FP中的离散对数问题是难处理的。取本原元Fp*,消息集合M=Fp*，签名集合A=Fp*Zp-1,定义K={（p,,a,)|=a(modp)},值p,和是公开的，a是保密的。对K=(p,,a,)和一个（秘密）随机数kZp-1*,对消息xM进行签名：SigK(x,k)=(,),其中，=k(modp),=(x-)k-1(modp-1)对x,Fp*和Zp-1,验证签名定义为Ver(x,,)=真（true)x(modp)对EIGamal签名方案安全性的讨论：若Oscar在不知道a的情况下企图伪造一个给定消息x的签名：Sigoscar(x,k)=(,)(1)Oscar先选定一个，然后企图找，这样，他就必须解一个关于未知数的方程：x(modp)这个方程是一个已知无可行解法的难处理问题！(2)Oscar先选定一个，使其满足：x(modp)，于是，-x(modp)，这样，他就必须计算离散对数log(-x)=?,这自然是难处理的问题！(3)若两者,都被Oscar首先选定,然后企图解出一个随机消息x,使得x(modp)，于是Oscar利用这种方式也不能伪造随机消息的签名。(4)Oscar同时选择,和x来伪造签名问题:假设i和j是整数,0=I=p-2,0=j=p-2,且(j,p-1)=1,先完成下列计算:ij(modp)-j-1(modp-1)x=-ij-1(modp-1)(其中j-1是用模p-1来计算的)可以证实(,)是一个消息x的有效签名:例子:假设p=467,=2和=132,它们为Bob公开的签名方案中的参数。Oscar利用这些参数伪造对一随机信息x的签名：选择i=99和j=179，那么j-1(modp-1)=151，计算出下列的x,,:)(mod)(mod)(mod)(mod)(mod)(1111pppppxijijijjjijijijijijiji117)467(mod132217999ji那么（117，41）是消息331的一个有效签名。验证：因此，这个伪造的签名有效！（5）其他类型的伪造签名：Oscar依据Bob已签名的消息来做伪签名。假设(,)是一个消息x的有效签名，那么Oscar可以用此来伪签其它消息：设h,i,j为整数,0=h,i,j=p-2且,计算331)466(mod419941)466(mod151117x)467(mod30322)467(mod30311713233141117x1)1,(pjh（其中是模p-1算出）然后可验证出因此，为假消息的一个有效签名讨论两个问题：（1）用EIGamal方案计算一个签名时，使用的随机数k为什么不能泄露？（2）若Bob用相同的值来签名不同的两份消息，Oscar能否攻破这个体制？)1(mod))(()1(mod)()(mod11pjhihxxpjhpjih1)(jh)(modpx),(x2数字签名标准公布于1994年5月19日的联邦记录上，并于1994年12月1日采纳为标准DSS。DSS为EIGamal签名方案的改进。DSS：p为512bit的素数，q为160比特的素数，且q|p-1,Fp*,且为模p的q次单位根。消息集合P=Fp*，签名集合A=FqFq,定义K={（p,,a,)|=a(modp)},值p,q,和是公开的，a是保密的。取xP,对K=(p,q,,a,)和一个（秘密）随机数k(1=k=q-1),定义SigK(x,k)=(,),其中，=k(modp)（modq),=(x+)k-1(modq)对xFp*和,Fq来说,按下述计算来验证签名的真伪：注：1*.DSS的使用涉及到Smart卡的使用,要求短的签名。DSS以一个巧妙的方法修改了EIGamal方案，使得签名160bits消息产生一个320bit的签名，但是计算使用了512比特的模p.2*.要求在整个签名算法中，如果计算了一个值,程序自动拒绝，并且产生一个新的随机值计算新的签名，事实上，的发生概率大约为2-160.)(mod)(mod1211qeqxe)(mod)(mod),,(21qpxVeeerK真))(mod(mod)(mod,)()(mod21111pqpkaxqaxee事实上)(mod0p)(mod0p)(mod0p3*.DSS是一个产生签名比验证签名快得多的方案，验证签名太慢！4*.Smart卡的应用！！Smart卡有有限的处理能力，但是能与计算机进行通信。人们企图设计一种让Smart卡仅作小量运算的签名方案。该方案必须完成签名、验证签名两部分，而且方便安全。用DSS签名的例子：假设取q=101，p=78*9+1=7879，3为F7879的一个本原元，所以能取=378（mod7879)=170为模p的q次单位根。假设a=75，那么a(mod7879)=4567.现在,假设Bob想签名一个消息x=1234，且他选择了随机值k=50，可算得k-1(mod101)=99,签名算出:=(17050(mod7879)(mod101)=2518(mod101)=94=(1234+75*94)99(mod101)=97签名为（1234，94，97）。验证：-1=97-1（mod101)=25,e1=1234*25(mod101)=45,e2=94*25(mod101)=27(17045*456727(mod7879))(mod101)=2518(mod101)=94因此，该签名是有效的。3一次签名任何单向函数都可用来构造一次签名方案。该签名对一个消息来说，唯一对应着一个确定的签名。这样的签名可验证任意多次。Lamport方案：设k为一个正整数，P={0,1}K,设f:YZ是一个单向函数，签名集合A=YK，对于1=i=k,j=0,1来说，yijY可随机地选择。选后，可算得Zij=f(yij)1=i=k,j=0,1密钥K由2k个y值和2k个Z值组成，y值保密而Z值公开.消息x=x1x2….xk(kbit串）。对于K=（yij,Zij|1=i=k,j=0,1)定义其中，yixi=ai,f(ai)=Zixi验证：注：1*.待签名的消息为一个二进制元组,每一个都单独签名.这个特征决定了“一次签名”2*.验证是简单的检查:签名结果的每一个元素是相应公开钥元素的愿象.例子:取单向函数f(x)=x(modp),设p=7879(素数),3为F7879的本原元,定义f(x)=3x(mod7879)假设Bob想签名3比特消息,他选择了6个(秘密的)随机数:),...,,(),...,,(221121kxkxxkKyyyxxxSigKiZafaaaxxxVixiikkerK1)(),...,,;,...,,(2121真y10=5831,y11=735,y20=803,y21=2467,y30=4285,y31=6449在f的作用下计算y的像:z10=2009,z11=3810,z20=4672,z21=4721,z30=268,z31=5732将这些Z值公开。现在Bob打算签名消息x=(1,1,0),那么对的签名为(y11,y21,y30)=(735,2467,4285).验证签名:3735(mod7879)=381032467(mod7879)=472134285(mod7879)=268因此,该签名有效。注：该方案，仅能用于签一个消息！一次，无法伪造。4不可否认的签名（Chaum和VanAntwerprn1989年提出）该签名的特征是：验证签名者必须与签名者合作。验证签名是通过询问------应答协议来完成。这个协议可防止签名者Bob否认他以前做的签名。一个不可否认的签名方案有三个部分组成：签名算法、验证协议、否认协议设p=2q+1是一个素数，它满足q为素数，且Fp中的对数问题是难解的。,且阶为q,取1=a=q-1,定义,G表示阶为q的FP*的子群。易见G=,（事实上G由模p的二次剩余组成）设P=A=G，且定义K={（p,,a,)|=a(modp)},值p,和是公开的，a是保密的。*pF)(modpa对K=（p,,a,)和消息xG,定义y=SigK(x)=xa(modp)易见yG。按如下协议完成验证：（1）.Alice随机选择（2）Alice计算,且将C送给Bob.（3）Bob计算,且d将送给Alice.（4）Alice接受y作为一个有效签名,当且仅当对上述这个签名方案，要证明以下两点：1）Alice将回接受按如上方案的有效签名2）Bob几乎不可否认经Alice验证过的自己的签名。证明(1)：(alice接受Bob的签名)。下面计算的所有指数都已做到模q约简.*21,qFee)(mod21pyCee)(mod)(mod1pCdqa)(mod21pxdee知代入上式得刚好与协议（4）相符，故Alice接受Bob的签名。对于（2）Bob几乎不可否认经Alice验证过的自己的签名。相当于证明下述定理。定理1：若,那么Alice以概率1/(q-1)接受y作为x的有效签名.证明:Bob对x做了签名y(=xa)给Alice后。Bob接受了Alice的一个询问,这个询问对应于q-1个有序对(e1,e2)。(原因是一旦固定，e2=f(e1)。然而，Bob不知Alice选择了哪一对(e1,e2)来构造出C。)(mod)(mod12111pypCdaeaea)(mod),(modppxyaa)(mod21pxdee)(modpxya)(mod21pyCeeCGy,,如果,那么Bob能做的任何可能回答，刚好与q-1个可能的有序对(e1,e2)中的一个相对应。由G=,所以对C,d,x,y来说，可设C=i,d=j,x=k,y=l,i,j,k,l,考虑同余式：写出关于的指数表示：等价于下述方程组：y)(modpxyaGpCdqa))(mod()(mod1*qF)(mod)(mod)(),(mod2112121)(modpxdpydpyCeeqaeeee)(mod)(mod2121ppekejaelei既然假设而y=2l，xa=(k)a=ak,所以lak,相当于说上述方程的系数行列式：知该方程组仅有唯一一组解。即对每一个dG,对于q-1个可能的有序对中（e1,e2），刚好有一个是正确的回答，Bob给Alice的一个回答d，将被验证的概率刚好为1/（q-1）。定理得证！)(mod)(mod2121qekejqaelei)(modpxya)(mod01qaklkal下面讨论否认协议：目的：（1）Bob能使Alice相信一个无效的签名是伪造的.（2）Bob签名有效，而导致Alice判决错误的概率为小概率事件。否认协议：(y?=xa)暂视为对的签名1）Alice随机选取2）Alice计算且将送给Bob,3）Bob计算,且将他回送Alice4）Alice验证5）Alice再随机选取6）Alice计算，且将他送给Bob7）Bob计算，且将他回送给Alice8）Alice验证*21