CH3习题及答案

3.1随机电压信号Ut在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数;fut、1212,;,fuutt和1212,,...,;,,...,kkfuuuttt，k为任意整数；（2）Ut的平稳性。3.1解：(1)21(;)exp{}42xfut22121,2121,12,21(;,)()()exp{}44uufuuttfutfut211,212,11(,,;,,)()exp{}4(2)kikikkiikiufuuutttfut(2)由于任意k阶概率密度函数与t无关，因此它是严平稳的。3.23.33.4已知随机信号()Xt和()Yt相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()ZtXtYt也是平稳的。3.4解：()Xt与()Yt各自平稳，设Xm=[()]EXt，Ym=[()]EYt，()[X()X()]XREtt，()[Y()Y()]YREttZ()[Z()][()Y()][()][()]XYmtEtEXttEXtEYtmm，为常数(,)[Z()Z()][()Y()()Y()][X()()][Y()()]()()()ZXYZRttEttEXttXttEtXtEtYtRRR()ZR仅与有关，故Z()t()Y()Xtt也是平稳过程。3.5随机信号010sinXtt，0为确定常数，在,上均匀分布的随机变量。若()Xt通过平方律器件，得到2()()YtXt，试求：（1）()Yt的均值；（2）()Yt的相关函数；（3）()Yt的广义平稳性。3.5解：(1)2200[Y()][X()][100sin()]50[1cos(22)]50EtEtEtEt222200000002(,)[Y()Y()][X()X()][100sin()100sin()]2500[1cos(2)cos(424)]2500[1cos(2)]YRttEttEttEttEtE()ZR仅与有关，且均值为常数，故Y()t是平稳过程。3.6给定随机过程00cossinXtAtBt，其中0是常数，A和B是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为2。证明Xt是广义平稳而不是严格平稳的。3.6证明：X00()[X()][cos()sin()]0mtEtEAtBt000000220000002200000020(,)[X()X()]{[cos()sin()][cos()sin()]}[cos()cos()sin()sin()]11[cos(2)cos()][cos()cos(2)]22cos()XRttEttEAtBtAtBtEAttBttEtEt由于均值是常数，且相关函数只与有关，故X()t是广义平稳过程。1020012B2X()2X(),2(,)()(,)()X()XAXttAttBfxtfxfxtfxt取时，取+时，显然不一定等于不是严格平稳的。3.7()Yt是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值(10)20m和相关函数(5,1)10R，试求：（1）[5(110)]EY，[10(310)50]EY；（2）[(105)(101)]EYY，[30(205)(201)200]EYY；（3）[10(305)(301)6(210)80]EYYY。3.7解：Y()(1)[5Y(110)]5[Y(10)]5(10)520100[10Y(310)50]10[Y(10)]50250(2)[Y(105)Y(101)][Y(5)Y(1)](5,1)10[30Y(205)Y(201)200]30[Y(5)Y(1)]200500(3)[10Y(305)Y(301)6Y(210)8tEEmEEEEREEE是广义周期平稳随机信号，0]10(5,1)6(10)80300Rm3.83.9两个统计独立的平稳随机过程()Xt和()Yt，其均值都为0，自相关函数分别为()eXR，()cos2YR，试求：（1）()()()ZtXtYt的自相关函数；（2）()()()WtXtYt的自相关函数；（3）互相关函数()ZWR。3.9解：(1)(,)[Z()Z()]{[X()Y()][X()Y()]}[X()X()][Y()Y()]()()cos(2)ZXYRttEttEttttEttEttRRe(2)(,)[W()W()]{[X()Y()][X()Y()]}[X()X()][Y()Y()]()()cos(2)WXYRttEttEttttEttEttRRe(3)(,)[W()Z()]{[X()Y()][X()Y()]}()()()()X()Y()()()0(,)()()cos(2)ZWXYXYYXXYYXZWXYRttEttEttttRRRRttRRRttRRe又由于与零均值相互独立，同时彼此正交，则3.103.113.12广义平稳随机过程()Yt的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。21.30.4____21.20.80.41.2__1.10.9____23.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：C=21.30.40.91.321.20.80.41.221.10.90.81.123.133.14对于两个零均值广义平稳随机过程Xt和Yt，已知25X，210Y，问下述函数可否作为自相关函数，为什么？（1）5exp3XRu；（2）5sin5XR；（3）12912YR；（4）cos6expYR；（5）2sin353XR；（6）sin106410YR。（6）5exp()XR；（7）264exp(3)YR。解：根据平稳随机信号相关函数的性质，(1)否，非偶函数(2)否，非偶函数(3)否，2(0)9YYR(4)否，(0)1YR在原点不是非负(5)是(6)是(7)是(8)是3.153.16已知随机过程()Xt和()Yt独立且各自平稳，自相关函数为0()2cosXRe与2()9exp(3)YR。令随机过程()()()ZtAXtYt，其中A是均值为2，方差为9的随机变量，且与()Xt和()Yt相互独立。求过程()Zt的均值、方差和自相关函数。解：()[()][()()][][()][()]2[()][()]ZtEZtEAXtYtEAEXtEYtEXtEYt的均值:　　　　　　　　202cos()lim00[()]0XXXmRmeEZt22230()(,)[()()()()][][()()()()]13[()()][()()]13()()26cos(9)zXYZtRstEAXsYsXtYtEAEXsYsXtYtEXsXtEYsYtRRee的相关函数：()[()](0)2610260XZtDZtR的方差：3.173.183.19平稳信号X(t)的功率谱密度为（1）242()32XS（2）108()20(1/10),()100,S求它们的自相关函数和均方值。解：(1)24222212()321211()22XIFTXSeeR11(0)22XR(2)根据傅立叶变换的对称性，有:224sin()8202(),1022XTRTT其中，2()4/XXRm[()]20/DxtT(0)204/XR3.203.21下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？（1）2sin（2）26233（3）24()1（4）4621j（5）4221（6）2(1)e3.21判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。(1)是。(2)是。(3)不是，0时值为负数。(4)不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。(5)是。(6)不是，因为它不是偶函数。3.22()Xt是平稳随机过程，证明过程()()()YtXtTXt的功率谱是()2()(1cos)YXSST3.22()()[()()()()][()()()()()()()()]YYtREXtTXtXtTXtEXtTXtTXtXtXtXtTXtTXt的相关函数：2()()()2()()()2()(1cos)XXXFTjTjTxxxxRRTRTSSeSeST3.233.24设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为0009)(3eRXY求互谱密度()XYS与()YXS。3.24*9()()39()()3FTXYXYYXXYRSjSSj3.25设随机过程1()()niiiXtaXt,式中ia是一组实常数。而随机过程)(tXi为平稳的和彼此正交的。试证明：21()()inXiXiSaS3.25()221111()()()[()()]()iinnnnXtXiiiiiiiiXiiiiREaXtaXsEaXtXsaR相互正交21()inFTiXiaS3.31假定周期为T高为A的锯齿波脉冲串具有随机相位，如题图3.31所示，它在0t时刻以后出现的第一个零值时刻是[0,)T均匀分布的随机变量。试说明()Xt的一阶密度函数为1/[0,](;)0[0,]AxTfxtxTt()Xt00tT题图3.313.31'()()()()(0,)1(0)()0()1[()]()(0)(,)0()AXtTtTTTXtthxAUTxTfxTfhxhxxTftxA已知　　　　　　其它　　　其它