chap5-2作业及答案

第五章数学物理方程和定解条件的导出5-2热传导及稳定场问题作业及答案1.长为l的均匀细杆，，侧表面绝热，0x端有恒定热流密度1q流入，xl端有恒定的热流密度2q流入，杆的初始温度分布是()2xlx，试写出相应定解条件。（单位时间内通过单位面积的热流量称为热流密度）解：由题知初始条件为0()(,)2txlxuxt。为得到边界条件分别研究0,ll两小段。由傅里叶定律：udQkdAdtn，在0一小段有1()0uqdAdtkdAdtx当0时，10xquxk同样对于ll一小段有2xlquxk故其定解条件为0120()(,)2,txxlxlxuxtqquuxkxk2.推导边界条件（5-2-13）1,uHhuhuhnk其中解：在dt时间内沿dA面从内部流入主内的热量由傅里叶定律可知udQdAkdAdtn，沿dA面从介质流入柱内的热量由牛顿定律可知：1|dQdAHuudtdA由于边界稳定，当柱高0dAdA时有且1|0ukdAdtHuudAdtn11|||ukHuHunuhuhun3.半径R金属圆柱，表面涂黑，太阳光垂直于柱轴照射到圆柱体侧表面的一半，设单位时间内垂直于太阳光入射方向上单位面积通过的热量为q，外界温度为00c，试写出这个热传导问题的边界条件（提示：选用极坐标）。解：考虑表面积为s厚度为的箔层。①太阳光垂直入射，dt内流入箔层热量：1sin002qsdtQ②由牛顿冷却定律，dt内由s流到外界热量：21111()(0)srRQkuusdtkusdtu③由底部流入热量3rrRQkusdt④箔层温升所需热量4Qcsdu⑤联立：4123QQQQ（1）01sinrRrrRcsduqsdtkusdtkusdt令010sin(,)(,)rqsdtkuRtsdtkuRtsdt1(,)(,)sin,0rkuRtkuRtq（2）2，此区域可由上式令0q而得1(,)(,)0,2rkuRtkuRt4.电阻率为的均匀细导线，通过均匀分布的直流电，电流密度为j，试导出导线内的热传导方程。解：设导线的体密度为，比热为c，取xxdx一小段进行研究。在dt时间内由x面流入的热量为()()()xxxuudQkdAdtkdtdAnx。在dt时间内由xdx面流入的热量()()()xdxxdxxdxuudQkdtdAkdtdAnx。此段导线的电阻dxRdA,在dt时间内电流流过该段导线所产生的热量为：2222()dxdtQIRdtjdAjdtdAdxdA由热平衡方程式2()()xdxxuuucdxdAdtkdtdAkdtdAjdtdAdxtxx222uuckjtx即：2txxkjuucc