D1_2数列的极限.

目录上页下页返回结束第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限目录上页下页返回结束r数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.πn如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S.,0,N正整数当nN时,SAn用其内接正n边形的面积总有刘徽(刘徽割圆术)目录上页下页返回结束定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当nN时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aa)(axan)(Nn即),(aUxn)(Nnaxnnlim或)(naxn1Nx2Nx则称该数列的极限为a,目录上页下页返回结束例如,,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx趋势不定收敛发散目录上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.证:1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn目录上页下页返回结束例2.已知证明证:0nx2)1(1n11n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取11N目录上页下页返回结束例3.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.目录上页下页返回结束23ba22abnabax二、收敛数列的性质证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx1.收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式目录上页下页返回结束例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取,21则存在N,2121axan但因nx交替取值1与－1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.目录上页下页返回结束2.收敛数列一定有界.证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn有数列目录上页下页返回结束3.收敛数列具有保号性.若且有)0()0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)则则目录上页下页返回结束*********************,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则,0,N当时,有现取正整数K,使于是当Kk时,有knN从而有由此证明.limaxknk*********************NNx目录上页下页返回结束三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，1lim2kkx发散!夹逼准则;单调有界准则;*柯西审敛准则.则原数列一定发散.说明:目录上页下页返回结束azynnnnlimlim)2(1.夹逼准则(准则1)(P50)),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),,0,1N当时,当时,令,,max21NNN则当Nn时,有由条件(1)nnnzxyaa即,axn故.limaxnn,2N目录上页下页返回结束例5.证明证:利用夹逼准则.π1π21π1222nnnnnπ22nn且πlim22nnn2π11limnn1nnlimπ1π21π1222nnnn1由目录上页下页返回结束2.单调有界数列必有极限(准则2)(P52))(limMaxnn)(limmbxnn(证明略)ab目录上页下页返回结束例6.设证明数列极限存在.(P53～P54)证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n目录上页下页返回结束11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx又比较可知目录上页下页返回结束根据准则2可知数列nx记此极限为e,e)1(lim1nnne为无理数,其值为590457182818284.2e即有极限.11)1(1nnnx11又31213n内容小结目录上页下页返回结束*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列极限存在的充要条件是:,0存在正整数N,使当NnNm,时,mnxx证:“必要性”.设,limaxnn则时,有使当,2axn2axm因此mnxxaxnaxm“充分性”证明从略.有柯西目录上页下页返回结束内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;*柯西准则目录上页下页返回结束思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对!此处nnxlim目录上页下页返回结束作业P301,*3(2),*4P564(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证第三节目录上页下页返回结束故极限存在，备用题1.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1∴数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx目录上页下页返回结束2.设证:显然,1nnxx证明下述数列有极限.即单调增,又1(1))1()1(11kaa存在“拆项相消”法