机器人学—数学基础

机器人运动学及其数学基础参考教材[美]付京逊《机器人学》[中南大学]蔡自兴《机器人学》[美]理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编程与控制》参考教材[中南大学]蔡自兴中南大学教授，我国人工智能和机器人领域著名专家中国人工智能学会智能机器人专委会理事长曾与付京逊教授一起工作过一机器人位置和姿态的描述Justincatchball串联机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端执行器），用以操纵物体，或完成各种任务运动学问题：B,H坐标系位置：H的原点在B坐标系中的坐标表示姿态：H坐标系相对于B坐标系的姿态inoa关节变量末端执行器位置和姿态机器人坐标系的定义GlobalReferencecoordinatesystem(frame)JointReferencecoordinatesystem(frame)ToolReferencecoordinatesystem(frame)运动学研究的两个问题Whereismyhand?DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?InverseKinematics:Choosetheseangles!运动学正问题运动学正问题运动学逆问题运动学逆问题轴线平行及相交研究运动学的方法研究运动学的方法轴线异面轴线平行时采用几何分析方法1955年丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg）提出了一种采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题研究运动学的方法研究运动学的方法数学基础是齐次变换二数学基础—齐次坐标和齐次变换2.1点和面的齐次坐标2.1.1点的齐次坐标用n+1个变量表示n维空间的几何元素。引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1。kcjbiav一个点矢：TxyzVw列矩阵式中i,j,k为x,y,z轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数wxwywz[例1]：kjiV543可以表示为：V=[3451]T或V=[68102]T或V=[-12-16-20-4]T齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的（a、b、c）而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。几个特定意义的齐次坐标：[000n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数[1000]T—指向无穷远处的OX轴[0100]T—指向无穷远处的OY轴[0010]T—指向无穷远处的OZ轴[0000]T—没有意义2个常用的公式：zzyyxxbabababakbabajbabaibababbbaaakjibaxyyxzxxzyzzyzyxzyx)()()(点乘:叉乘:2.1.2平面的齐次坐标平面齐次坐标由行矩阵P=[abcd]来表示当点v=[xyzw]T处于平面P内时，矩阵乘积PV=0，或记为0dwczbyaxwzyxdcbaPV如果定义一个常数m=，则有：222cba()()xyzabcxaybzcdijkijk可以把矢量解释为某个平面的外法线，此平面沿着法线方向与坐标原点的距离为(-d/m)。)(kmcjmbima点和平面间的位置关系设一个平行于x、y轴，且在z轴上的坐标为单位距离的平面P可以表示为：或有：PV=1100P2200Pv0v0v0点在平面下方点在平面上点在平面上方与点矢相仿，平面也没有意义T00000000例如：点V=[102011]T必定处于此平面内，而点V=[0021]T处于平P的上方，点V=[0001]T处于P平面下方，因为：102000101001101120011000-110001-1002.1.3平移变换1、二维坐标平移变换1111byaxyxabyxy1x1P(x1,y1)oo1沿坐标轴平移（a,b）。P位于O1坐标系中，O为绝对坐标系人（P）坐在汽车里运动11111001110011xxaxyTyby2、三维坐标平移变换1100010001000111111111zyxcbazyxTzyxzyxoo′w′u′v′abcw′v′u′o′沿坐标轴方向平移（a,b,c）车绕盘山公路行驶平移齐次变换矩阵100010TTrans(abc)0010001abc对任意向量u=（x,y,z,w）进行T变换后为：100/010/001/00011axxawxwabyybwywbVTuczzcwzwcww对已知任意向量u=（x,y,z,w）进行T变换实质是将u与平移向量(a,b,c,1)相加2.2旋转矩阵及旋转齐次变换2.2.1旋转矩阵设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw，研究旋转变换情况。xyzwvuPo(O')①初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。则P点在ΣO´uvw中可表示为：wwvvuuuvwkPjPiPP、、为坐标系ΣO´uvw的单位矢量，则P点在Σoxyz中可表示为：uivjwkzzyyxxxyzkPjPiPPxyzuvwPP例：动坐标系中一点P绕坐标轴Z旋转cossinABBpppxxysincosABBpppyxyABppzz2.2.2三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵写成矩阵形式00001ABppABppABppxcsxyscyzz()ABZ图中动坐标系换成uvwcosBpxsinBpyBpxBpyApxApycosBpysinBpx00001zwcskksc方向余弦阵由图2-5可知，在x轴上的投影为，在y轴上的投影为,在x轴上的投影为，在y轴上的投影为uicosuisinvjvjuisinuivjcosvj绕Z轴的基本旋转矩阵对x轴投影对y轴投影对z轴投影u在x,y,z轴的投影由图2-5可知，在x轴上的投影为，在x轴上的投影为,在y轴上的投影为，在y轴上的投影为uicosuisinvjvjvjsinuiuicosvj同理：cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R（ssin0sincos0001)R(x,co三个基本旋转矩阵:xyzouvwU'W'O'xyzouvwU'V'W'O'总结三个基本旋转矩阵(,)Rz即动坐标系求的旋转矩阵，也就是求出坐标系中各轴单位矢量在固定坐标系中各轴的投影分量，很容易得到在两个坐标系重合时，有：OvwOZ，绕轴转动角，vwO'wvkji,,Oxyz(,)Rz100010001R②当动坐标系ΣO´uvw绕任意过原点的单位矢量f回转ϴ时，求P点在固定坐标系Σoxyz中的位置yzxo(O')uvwPPwPvPu图2-4已知：P点在ΣO´uvw中是不变的仍然成立，由于ΣO´uvw回转，则：wwvvuuuvwkPjPiPPxwwvvuuxuvwxfkPjPiPfP)(PywwvvuuyuvwyfkPjPiPfP)(PzwwvvuuzuvwzfkPjPiPfP)(P用矩阵表示为:yxxvxwxyyyvwvzwzzvzwfifjfkPPPfifjfkPPPfifjfk（2-7）R(,):xyzuvwRotfpRP其中vers=1-cos定义旋转矩阵为：则2.2.2旋转齐次变换用齐次坐标变换来表示式（2-7）110000001wvuzyxPPPRPPP1100000011zyxwvuPPPRPPP00(,)00001xxyxzzxyxyzyyzyxxzyyzxzzffverscffversfsffversfsffversfsffverscffversfsRotffversfsffversfsffverscf以绕Z轴的基本旋转矩阵为例验证00001zwcskksc00(,)00001xxyxzzxyxyzyyzyxxzyyzxzzffverscffversfsffversfsffversfsffverscffversfsRotffversfsffversfsffverscf合成旋转矩阵:例1：在动坐标中有一固定点，相对固定参考坐标系做如下运动：①R（x,90°）；②R(z,90°)；③R(y,90°)。求运动后点在固定参考坐标系下的位置。TuvwPo1321'OxyzuvwPo'Oxyz解1：用画图的简单方法[3,1,2,1][1,-3,2,1][2,1,-3,1]解2：用分步计算的方法(matlab编程)①R（x,90°）②R（z,90°）③R（y,90°）123113211000001001-000001'P12131231100001000001001-0''P1312121310000001-00100100'''P（2-14）（2-15）（2-16）上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：33000100011xuyvzwPPPRPPPR4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：33RR,)(,)(,)yRzRx（定义1：当动坐标系绕固定坐标系各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换，平移矩阵间可以交换uvwO'Oxyz2.2.4相对变换举例说明：例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系∑0′做如下运动：①R(Z,90º)②R（Y,90º）③Trans(4，-3,7)，求合成矩阵解1：用画图的方法：