DSP-1,2,3,4,5,6,7,8

第一章时域离散信号和时域离散系统1.1引言信号：是一个或几个自变量的函数。如f1(t)，f2(n1,n2)。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。信号的自变量：有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，我们一般地把信号看作时间的函数。1.1引言1、信号的分类：模拟信号：时间和幅度都取连续值的信号；时域离散信号:幅度取连续值而时间取离散值的信号；数字信号：幅度和时间均为离散值的信号；2.系统的分类：模拟系统：系统的输入、输出均为模拟信号；数字系统：系统的输入、输出均为数字信号；时域离散系统：对时域离散信号进行处理的系统；1.1引言本章作为全书的基础，主要学习：时域离散信号的表示方法和典型信号;线性时不变系统的因果性和稳定性;系统的输入输出描述法－线性常系数差分方程及其解法;模拟信号数字处理方法;1.2时域离散信号对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到说明：xa(nT)是一个有序的数字序列：…xa(-T)、xa(0)、xa(T)…，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔T可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。n),nT(x|)t(xanTtan取整数1.2时域离散信号强调：序列x(n)中n取整数，非整数时无定义，在数值上(序列值)等于信号的采样值，即：序列的表示：用公式表示、用图形表示、用集合符号表示。例如：x(n)=xa(nT)，-∞＜n＜∞x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}例：x(n)=0.5n=0和负整数。y(n)=0n=(，0)2n=1,2,…1n取正整数。判断两函数是否为序列？序列不是序列1.2时域离散信号1.2.1常用的典型序列1、单位采样序列d(n)：也称为单位脉冲序列公式表示：0n00n1)n(d－101231nδ(n)(a)δ(t)t0(b)单位采样序列单位冲激信号1.2时域离散信号2、单位阶跃序列u(n)δ(n)与u(n)之间的关系：u(n)01231n…0n00n1)n(u公式表示：图形表示：类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)δ(n)=u(n)-u(n-1)0k)kn()n(ud1.2时域离散信号3、矩形序列RN(n)当N=4时，R4(n)的波形如图所示矩形序列可用单位阶跃序列表示：R4(n)01231nn01Nn01)n(RN其它N称为矩形序列的长度RN(n)=u(n)-u(n-N)1.2时域离散信号4、实指数序列如果|a|1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列；如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图所示。x(n)=anu(n)，a为实数1.2时域离散信号5、正弦序列如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到，那么：因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为x(n)=sin(ωn)ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，表示序列变化的速率，或表示相邻xa(t)=sin(Ωt)xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)x(n)=sin(ωn)表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系ω＝ΩTω＝Ω/fs1.2时域离散信号6、复指数序列式中：设σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：由于n取整数，下面等式成立：复指数序列具有以2π为周期的周期性，后面的研究中，频率域只考虑一个周期x(n)=e(σ+jω0)nω0为数字域频率ej(ω0+2πM)n=ejω0n,M=0,±1,±2…x(n)=ejω0nx(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)1.2时域离散信号7、周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：则称序列x(n)为周期性序列。例：x(n)是周期为8的周期序列。()sin()4xnnx(n)=x(n+N),-∞n∞周期为N()sin((8)4xnn)1.2时域离散信号一般正弦序列的周期性设：如果：x(n+N)=x(n)，要求:ω0N=2kN=(2π/ω0)k，k的取值要保证N是最小的正整数。当2/ω为整数时，令k=1，序列x(n)的周期为N=2π/ω0；当2/ω为有理数时，k总能取到一个整数，使周期N=2k/ω为一正整数；当2/ω为无理数时，k不管取什么整数，都不能使N=2k/ω为一正整数；则x(n)是非周期序列。x(n)=Asin(ω0n+φ)x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)1.2时域离散信号[例]：求下列两序列的周期N=？(1)x(n)=Acos(n/4+/7);(2)x(n)=Asin(n/5)+Bcos(n/3);解:(1)由于w=/4,2/w=2×4/=8为整数，则周期N=8(2)由于w1=/5,w2=/3,N1=2/w1=10,N2=2/w2=6序列x(n)的周期N为N1和N2的最小公倍数，可得N=[10,6]=301.2时域离散信号8、用单位采样序列来表示任意序列任意序列x(n)都可以表示成单位采样序列的移位加权和。即：[例]：用单位采样序列d(n)表示x(n)。mmnmxnx)()()(dx(m)d(n-m)=x(n),m=n0,其它mx(n)n053-3abcx(n)=x(-3)d(n+3)+x(3)d(n-3)+x(5)d(n-5)=ad(n+3)+bd(n-3)+cd(n-5)1.2时域离散信号1.2.2序列的运算序列的基本运算：序列移位(左,右)、加法、乘法、翻转、尺度变换及卷积等。1.乘法和加法序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图所示。1.2时域离散信号2.移位、翻转及尺度变换x(n+n0)表示x(n)左移n0单位,x(n)的超前序列；x(n－n0)表示x(n)右移n0单位，x(n)的延时序列；x(-n)则是x(n)的翻转序列；x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。(尺度变换)例：给定信号x(n)：(1)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(2)令x1(n)＝2x(n-2)，试画出x1(n)的波形；(3)令x2(n)＝2x(n+2)，试画出x2(n)的波形；(4)令x3(n)＝x(2-n)，试画出x3(n)的波形。解：(1)()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)xnnnnnnnnnndddddddddx(n)=2n+5-4≤n≤-160≤n≤40其它1.2时域离散信号1.2时域离散信号(2)x1(n)的波形是x(n)的波形右移2个单位，再乘以2，波形如下。x1(n)n01623451262-2-61.2时域离散信号(3)x2(n)的波形是x(n)的波形左移移2个单位，再乘以2，波形如下。x2(n)n012-2-11262-2-6-4-31.2时域离散信号(4)x3(n)的波形：先画x(-n)的波形，然后右移移2个单位，波形如下。x3(n)012631-3-1n1.2时域离散信号2.给定信号x(n)：试用延迟的单位脉冲序列及其加权和画出表示x(n)序列54()(1)(1)xnRnRn00-11()(1)()(4)xnnnndddR5(n+1)-R4(n-1)x(n)nn1.3时域离散系统设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间关系用下式表示：其框图如图所示:在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物理过程可用这类系统表征。y(n)x(n)][Ty(n)=T［x(n)］1.3时域离散系统1.3.1线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统。设:那么线性系统一定满足下面两个公式：将以上两个公式结合起来，可表示成：y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］T［x1(n)+x2(n)］=y1(n)+y2(n)T［ax1(n)］=ay1(n)线性系统的可加性；线性系统的比例性或齐次性y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)a和b均是常数叠加原理的一个直接推论：零输入产生零输出。1.3时域离散系统1.3.2时不变系统如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间变化;或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关。或者说若系统的输出随输入延迟而延迟同样个单位；则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：y(n)=T[x(n)]y(n-n0)=T[x(n-n0)]1.3时域离散系统【例】判断系统y(n)=3x(n)+4的线性和时变特性？解：1.判断线性特性根据定义有：设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即：T[ax1(n)]=3ax1(n)+4;T[bx2(n)]=3bx2(n)+4;而T[ax1(n)+bx2(n)]=3ax1(n)+3bx2(n)+4ay1(n)+by2(n),所以系统是非线性系统。2.判断系统的时变特性根据定义有：y(n)=T[x(n)]而T[x(n-n0)]=3x(n-n0)+4=y(n-n0)，是时不变系统。1.3时域离散系统1.3时域离散系统1.3.3线性时不变系统输入与输出之间的关系1、单位取样响应h(n)设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。单位取样响应即是系统对于δ(n)的零状态响应。用公式表示为:h(n)和模拟系统中的单位冲激响应h(t)类似，都代表系统的时域特征。h(n)=T［δ(n)］1.3时域离散系统设系统的输入为x(n)，表示成单位采样序列移位加权和为系统的输出为：线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。只要知道系统的单位取样响应，对于任意输入x(n)都可以求出系统的输出.()[()()]()[()()]()[()()]()()(*)mmmynTxmnmynxmnmynTxmhnmxnhndd()[()()]()[()()]()[()()]()()(*)mmmynTxmnmynxmnmynTxmhnmxnhndd()[()()]()[()()]()[()()]()()(*)mmmynTxmnmynxmnmynTxmhnmxnhndd()[()()]()[()()]()[()()]()()(*)mmmynTxmnmynxmnmynTxmhnmxnhndd()()()mxnxmnmd线性系统的叠加性质()[()()]()[()()]()[()()]()()mmmynTxmnmynxmnmynTxmhnmxnhndd()[()()]()[()()]()[()()]()()mmmynTxmnmynxmnmynTxmhnmxnhndd()[()()]()[()()]()[()()]()()mmmynTxmnmynxmnmynTxmhnmxnhndd［()[()()]()[()()]()[()()]()()(*)mmmynTxmnmynxmnmynTxmhnmxnhndd系统的时不变性质*代表卷积运算1.3时域离散系统2、用图解法