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第3章数字信号中国科学技术大学曾凡平~billzeng第3章数字信号2第2章内容提要•采样定理–奈奎斯特采样率=2W–奈奎斯特频率：采样速率的一半fN=fS/2–欠采样及呈现频率的确定（假频和真频）–不失真欠采样的条件–过采样的好处•A/D转换及量化(Q=R/2N)误差、比特率•D/A转换及重建信号的时延（延迟）效用•抗混叠滤波器、抗镜像滤波器的作用第3章数字信号3关于重构式的证明•见《计算机控制基础》pp21-26•中国科学技术出版社，李嗣福等编著2001年9月.第3章数字信号4本章内容•所有数字信号处理的对象都是数字信号。本章主要内容如下：1.确定数字信号的图形表示和符号2.解释数字信号的时移和尺度变换3.介绍重要的基本数字函数4.建立模拟频率和数字频率的对应关系5.解释合成数字信号6.介绍数字图像第3章数字信号53.1数字信号的图示•数字信号大多是模拟信号按一定时间间隔进行采样，并经模／数转换得到的。•在图形上，用顶部带圆圈的竖线表示数字信号，横坐标表示采样序号（所经过的采样周期的数目），竖线的高度表示数字信号对应的量化电平（即数值的大小）。•用量化电平表示数字信号比用数字代码更好，因为量化电平能更直观地表示信号的增减，而数字代码则不能。第3章数字信号6例3.1数字信号的图示实例-“棒棒糖”式例3.1部分语音信号在0-1V范围内取值。采用表3.1所给三比特量化方案进行A/D转换，得到一系列数字代码：010110000001011100110111100010。画出该数字信号。解：图3.1表示该数字信号的图形，此信号只能取有限个数的值，这些数值就是表3.1中的量化电平，它与数字代码相对应。一旦量化，就不能再取其他任何数值。第3章数字信号7表3.1三比特量化表Q=0.125第3章数字信号8图3.1第3章数字信号9例3.1的Matlab程序x=[];xmax=bin2dec('1000');x(1)=bin2dec('010')/xmax;x(2)=bin2dec('110')/xmax;x(3)=bin2dec('000')/xmax;x(4)=bin2dec('001')/xmax;x(5)=bin2dec('011')/xmax;x(6)=bin2dec('100')/xmax;x(7)=bin2dec('110')/xmax;x(8)=bin2dec('111')/xmax;x(9)=bin2dec('100')/xmax;x(10)=bin2dec('010')/xmax;N=length(x);n=[0:N-1];figure(1);stem(n,x);xlabel('x[n]');第3章数字信号10大量的数字信号的图示-信号包络•当采样速率很高或必须描述大量采样时，“棒棒糖”式的表示方法过于拥挤，这时用光滑曲线连接竖线的顶点，画出的是信号包络，而不是单个点，见图3.2。见下一页注：Matlab用wavread从音频文件中读数据注：“docwavread”可以获得关于wavread的帮助第3章数字信号11第3章数字信号123.2数字信号的符号•x[n]：n为整数，表示当前采样的编号（序号）。例如，x[5]表示信号第5个采样时刻的值。所有的采样时刻的值集合便是序列x[n]•x[n-N]：整个序列右移N个采样点，即采样值滞后N个采样周期（获取过去的历史数据）•x[n+N]：整个序列左移N个采样点，即采样值超前N个采样周期（采集将来的数据）•超前和滞后称为信号的时移，常用于差分方程和卷积表达式中。•注：x[n]、x[n-N]、x[n+N]，n表示当前时刻第3章数字信号13尺度变化•x[kn]：k为整数常数，是信号的尺度变化（从信号中选取每第k个采样点）。尺度变换用于抽取和小波变换。例3.2对图3.3中的信号，假设n=0以前和n=9以后的所有采样值均为0。这个信号用尾部随零的形式绘出。求下列各值：1.x[0]2.x[5]3.x[n-1]4.x[n-2]5.x[2n]6.x[3n]第3章数字信号14•解：–a.该处采样值为x[0]=0.25。x[n]指整个信号，x[0]指信号中某一单个采样值。–b.n=5处采样值为x[5]=0.5。–c.x[n-1]的图形可通过将x[n]右移一个单位得到，这点可通过表3.2证实。采样编号和信号值x[n]列在前两行，用来确定后两行的内容，以表中黑体列为例，当n=2时，n-1=1，所以x[n]=x[2]=0，而x[n-1]=x[1]=0.75。于是当n=2时，x[n-1]=0.75。用同样方法可分析表中其他点，结果是把所有的采样值都向右移一个时间单位。比较图3.4与图3.3，可以明显看出这一点，图3.4给出的是x[n-1]对n的信号图。第3章数字信号15例3.2的图形•d.信号x[n-2]对于x[n]来说，右移了两个时间单位，比较图3.5和图3.3可以看出。•e.信号x[2n]可由表3.3得到。n的两倍选出信号的隔点采样值，如图3.6所示。•f.信号x[3n]从原信号中选取每第3个采样点，如图3.7所示。第3章数字信号16第3章数字信号173.3数字函数（常用的数字函数）•3.3.1脉冲函数–单位脉冲函数是数字域的基本函数。事实上，所有数字信号都能从脉冲函数构造出来。单位脉冲函数(也称δ函数)(unitimpulsefunction)除了在n=0处有一值外，其他点处均为零。单位脉冲函数定义为：NnNnNnnnn10][0100][第3章数字信号18N=4;n=[-N:N];xn=[n==0];figure(8);stem(n,xn);axis([-N,N,-0.2,1.5]);第3章数字信号19第3章数字信号20第3章数字信号21例3.7用一个函数描述图3.14中的图形，假设窗口外所有采样值为0。解：任何数字信号都能写成脉冲函数之和的形式。4个非零采样值构成此函数。其数学形式为：]3[]2[3]1[2][4][nnnnnx第3章数字信号22用单位脉冲表示任意的数字序列•推广到一般情况，对于任意信号x[n]，有：•其中x[0]，x[1]，x[2]，…代表信号的采样值]2[]2[]1[]1[][]0[][nxnxnxnx第3章数字信号233.3.2阶跃函数：从某采样点起采样值为常数•其中字母u表示阶跃函数。图3.15中为u[n]的前几个非零采样值。单位阶跃函数常用来表示一个“接通”过程。例如，5v直流电源接通后的采样值可以表示为5u[n]。0[]1100[]10nNunNnNnunn从考察点起的采样值为：单位阶跃第3章数字信号24例3.8确定u[-1]，u[0]和u[1]的值。解：•根据式(3.2)或图3.15有u[-1]=0，u[0]=1及u[1]=1。例3.9画出信号x[n]=3u[n]的图形。解：图3.16中的信号是基本阶跃函数放大后的信号。第3章数字信号25例3.10画出x[n]=u[-n]的图形解：•当n为正时，(-n)为负，对于每一个负的标号，阶跃函数为零；当n为负时，(-n)为正，阶跃函数对于每一个正的标号值为1；零点的值不变。如图3.17所示，函数u[-n]是u[n]以直线n=0为对称轴的对称图形。第3章数字信号26例3.11画出下列数字信号：a.x[n]=u[n-3]b.x[n]=u[3-n]解：a.u[n-3]和u[n]完全相同，只是右移了三个单位，如图3.18所示。当n≥3时，x[n]的所有采样值为1。每一点的值都可通过直接计算得到证实。比如，x[4]=u[4-3]=u[1]=1，而x[2]=u[2-3]=u[-1]=0。b.信号u[3-n]可以写成u[-(n-3)]。它可通过将u[-n]右移三个单位得到，如图3.19所示。从1到0的变化是在3-n=0(即n=3)处。第3章数字信号27例3.12画出x[n]=u[n]+2u[n-2]的图形。解：•该信号是由u[n]和2u[n-2]逐点相加得到的，如图3.20所示。第3章数字信号28例3.13画出x[n]=u[n]-u[n-3]的图形。解：•该信号是由u[n]减去u[n-3]得到的，如图3.21所示。结果反映了被采样的直流电平开启后又再次关闭的情况。第3章数字信号29例3.14用一个函数描述图3.22中的信号，假设n-4的值为零，n4的值为-4。解：•该信号可用脉冲函数或阶跃函数描述，但用阶跃函数最好：x[n]=2u[n]-6u[n-2]第3章数字信号30阶跃函数和脉冲函数的关系•阶跃函数和脉冲函数之间具有联系，这种联系非常有用。阶跃函数可写成脉冲函数之和的形式，脉冲函数可写成阶跃函数之差的形式：]1[][][]1[][][][]3[]2[]1[][][0NnuNnuNnnununmnnnnnnum第3章数字信号313.3.3幂函数和指数函数第3章数字信号32例3.16第3章数字信号33第3章数字信号34复指数第3章数字信号35第3章数字信号36•A为振幅，Ω为数字序列重复的频率：数字频率•图3.26表示了A=3，Ω=pi/8的数字正弦信号。从图中可以看出，x[n]每16个采样点重复一次。即数字周期为16。3.3.4正弦和余弦函数)cos(][)sin(][nAnxnAnx数字正弦函数在测试单一频率输入情况下的系统响应时非常有用。数字正弦和余弦函数的形式为：第3章数字信号37图3.26数字正弦信号实例第3章数字信号38数字频率与模拟频率的关系•众所周知，模拟正弦和余弦是周期函数，但数字正弦和余弦不一定是周期函数。它取决于数字频率的取值（本质上是采样频率或采样周期）。对如下对信号以周期Ts采样，则：fsffsfTTnAsinnTAsinnTxnxtAsintxssss2/2)()()(][)()(此为数字频率Ω与模拟频率f的关系第3章数字信号39数字正弦为周期信号的条件•若数字序列为周期函数：假设每N次采样重复一次数字值，则对应的模拟信号重复M次，所以•其中N为数字序列重复所需的采样点数，M是当N个采样点完成时模拟信号所经过的周期数。要找N和M，分数必须化简为最简形式。•故数字序列是否重复只取决于Ω，本质上取决于采样周期和采样频率。N称为数字周期•对正弦余弦函数要特别注意是否为周期函数。211ffMNfMfNMTNTsss/2第3章数字信号40图3.27周期或非周期数字信号第3章数字信号41例3.19数字信号为x[n]=cos(2n)。–a.此数字序列是否为周期序列。–b.求出该序列的前八个采样值。解：–a.由于x[n]=Acos(nΩ)，Ω=2rad，2π/Ω=π，此数为无理数，不能表示为整数之比，因而该数字序列是非周期的。–b.如表3.7和图3.28所示，在前八个采样点内无重复。即使取更多的采样点，序列仍不会重复。第3章数字信号42•例3.19的信号不是周期信号，无论经过多少个采样点，数字序列均不可能重复。第3章数字信号43第3章数字信号44•例3.21图3.30画出了下列信号：•所有信号均以fs=8(次／秒)的速率进行采样。采样点用实竖线标记。对于每种情况，考察采样信号的周期性。8/2/2fsf12/f第3章数字信号45•数字正弦函数的一般形式为：0)cos(][)sin(][nnAnxnAnx它带来时域上的位移的单位为弧度，相位•n0为正，数字序列向右移；•n0为负，序列左移。第3章数字信号46信号相移实例例3.22画出x1[n]=sin(n2π／9)和x2[n]=sin(n2π/9-3π／5)的图形。第3章数字信号473.4合成函数•合成函数是函数的组合，这样的组合可以灵活地定义前面章节未定义的信号。计算一个合成函数，首先构造基本函数，然后按要求将