Dsp11

数字信号处理基础(01114301)第11章DFT和FFT处理第11章DFT和FFT处理2本章主要内容包括1.定义和解释DFT2.给出DFT的图解3.建立DFT与离散时间傅里叶变换(DTFT)的联系4.建立DFT与离散傅里叶级数(DFS)的联系5.认识DFT的有限分辨率及由之产生的模糊效应等问题6.将DFT应用于周期及非周期信号7.讨论DFT计算中窗的作用8.介绍表示信号时间和频率信息的频谱图9.导出可以有效计算DFT的快速傅里叶变换(FFT)10.定义图像及其他二维数据的二维DFT第11章DFT和FFT处理311.1DFT基础•DTFT(离散时间傅里叶变换)的定义：•问题：(实现DTFT的困难)计算X(Ω)的问题(1)需要无限多个采样值x[n](2)Ω在实数域取值，X(Ω)定义在无限多个频率上。],[2)()1.7(][)(nXenxXnjn为周期以为数字频率第11章DFT和FFT处理4从DTFT到DFS再到DFT•X(Ω)不适合描述信号的频谱，工程价值不高，因此要用新的适合于工程应用的方法来描述数字信号的频谱。•8.3考虑了一种特殊的信号：周期数字信号，其频谱可以用DFS（富里叶级数）描述，DFS只需要有限（一个周期，N个采样点）个采样值，在有限个标号上表示数字信号的频谱（N个线谱）。•DFT的思想：如果从任意的输入信号x[n]取N个连续的采样值，这N个采样值应该包含时域信号的最重要特征，并且按DFS相同方式处理x[n]，则得到DFT。第11章DFT和FFT处理5DFT(离散傅里叶变换)的定义•DFT(离散傅里叶变换)的定义：•DFT解决了X(Ω)的二个问题：N（有限）个采样点，N（有限）个频谱值。DFT中的N个采样点，可以看成长度N的DFT窗内。•DFT窗：取原始信号的N个值用于分析。•当N足够大时，窗外的采样值并不影响频谱分析。)1.11(]1,0[][][102NkenxkXNnnNkj第11章DFT和FFT处理6离散傅里叶变换的性质•如同DTFT一样，从DFT的定义可以推导出X[k]具有的3个基本性质。][][.3|][||][|.2][][N][.1|][|][][kkkXkXkXNkXkXekXkXkj相频为奇函数幅频为偶函数为周期，以的性质第11章DFT和FFT处理7逆DFT•逆DFT：•DFT和DTFT的关系：频谱光滑连续离散线谱时为周期以NN][)2.11(1,,1,0][1][102nxNnekXNnxNkkNnj对应的模拟频率标号是窗内信号的周期形式逆的采样形式是k:22.3DFT.2.1ffNkfffkNDTFTDFTss第11章DFT和FFT处理8图11.1信号、DFT、DTFT和逆DFT之间的联系第11章DFT和FFT处理9信号、DFT、DTFT和逆DFT之间的联系第11章DFT和FFT处理10P330例11.1(MatLab验证)第11章DFT和FFT处理11第11章DFT和FFT处理12第11章DFT和FFT处理13P331例11.2MatLab验证序列。第11章DFT和FFT处理14图11.8是信号DTFT和DFT的重叠图，正如所料，DFT的幅度位于DTFT幅度曲线上。第11章DFT和FFT处理15P332例11.3MatLab验证第11章DFT和FFT处理16omega=linspace(0,2*pi*(N-1)/N,N)00.69811.39632.09442.79253.49074.18884.88695.5851第11章DFT和FFT处理17分辨率与DFT的滤波器效应（P334）•N点DFT的线谱覆盖了0～fs的模拟频率范围，频率采样点以fs/N为间隔。•DFT分辨率=DFT频率间隔=fs/NN越大，分辨率越高，线谱越接近于连续频谱X(Ω)。•DFT的滤波器效应：X[k]，相当于中心数字频率为2πk/N的带通滤波器组（k=0,1,….,N-1），即N个带通滤波器并联。102sin2cos][][NnNknjNknnxkX第11章DFT和FFT处理18例11.4P335MatLab验证第11章DFT和FFT处理19第11章DFT和FFT处理20102][][NnnNkjenxkX第11章DFT和FFT处理21第11章DFT和FFT处理22第11章DFT和FFT处理23例11.5P337MatLab验证第11章DFT和FFT处理24•系统中所能表示的最高频率，即采样频率的一半6kHz。DFT幅度频谱说明信号的最强分量在该频率处。这个频率处的峰说明图11.14中DFT所对应的信号一定在电平上有剧烈且快速的变化。为求准确的信号，必须用式(11.2)对N=8及表11.5的值求IDFT。第11章DFT和FFT处理25第11章DFT和FFT处理26第11章DFT和FFT处理27第11章DFT和FFT处理28真实频谱的模糊：信号的频率不是频率分辨率的整数倍时，在频谱中不能准确定位的现象•DFT有限的分辨率说明了DFT频谱的含意。十分重要的是，DFT不能超过分辨率所允许的范围而去准确定位频率，这种限制在例11.4中出现过，该例中是以fs=6.4Hz对包含1/16和3/8Hz频率的信号进行采样，然后用256点DFT进行分析的，此DFT的分辨率为fs／N=6.4／256=0.025Hz。因为DFT分量仅在0.025整数倍的频率处，又因为(1／16)／0.025=2.5，所以1/16Hz的信号不能准确定位。1/16Hz频率位于两个DFT频率之间，如例中所示。因而，该信号可用真实信号频率两侧中任一侧的DFT标号去描述；而另一方面，3／8Hz的信号，因为(3／8)／0.025=15，正好与DFT频率一致，则可被准确定位，如例11.4所示。•当DFT中没有频率与所分析信号的重要频率相符时，DFT就导致了真实频谱的模糊(smearing)。第11章DFT和FFT处理29例11.6P339第11章DFT和FFT处理30第11章DFT和FFT处理31第11章DFT和FFT处理32从频谱图看信号的周期性•DFT并不区别周期和非周期信号，因此没有必要检验用来进行分析的一组采样值是否重复。DFT只是对时域采样信号的集合进行运算，从而得出信号的频率分量。•DFT确实有助于揭示信号是否具有周期性。非周期信号的DFT幅度频谱包络将呈现大小变化以及间隔变化的许多凸起，但没有清晰的尖峰。•周期性表现在幅度频谱中固定间隔上有确定的窄的尖峰。对于周期信号，这些尖峰位于谐波频率上，即信号基频的整数倍，见8.3节。由于DFT可能与信号的周期不一致，所以DFT窗的长度影响谐波尖峰的形状及尖峰间的点数。第11章DFT和FFT处理33•下面考虑纯正弦的DFT，图11.17所示的是频率为60Hz的正弦以256Hz进行采样的幅度频谱，该信号的数字频率是=2f／fs=2(60／256)，因而2/=256/60=64/15，这是整数N1=64和M1=15的比值，因此从3.3.4节可知，数字序列每N1=64个采样点重复一次，覆盖了基本模拟信号的M1=15个循环。图11.17(a)128点DFT的幅度频谱中有两个理想的尖峰，第二个尖峰是第一个的镜像，因此，当DFT长度N(=128)正好是数字信号一个周期里采样点数N1(=64)的整数倍时，频谱中的理想尖峰就标志着正弦的频率。换句话说，当DFT长度与信号周期相符时，DFT结果模拟了离散傅里叶级数的结果，例8.9中也可看到同样的理想尖峰。在图11.17(b)中，N不是该数字信号的数字周期64的整数倍，尖峰加宽并变小了，这是模糊现象的副作用。)sin(][64156460256222566011nnxMNffffHzfHzfsss个采样点重复一次每号，采样信号是数字周期信第11章DFT和FFT处理34从DFT看数字信号的周期性①周期数字信号的DFT幅频有明显的尖峰，尖峰对应的频率是基频的整数倍，用f=k×fs/N计算谐波频率。当N不是数字周期的整数倍时，尖峰加宽、幅度变小，出现频谱模糊的现象。②非周期信号的DFT频谱没有明显的尖峰。第11章DFT和FFT处理35例11.7第11章DFT和FFT处理36例11.7的频谱第11章DFT和FFT处理37第11章DFT和FFT处理38第11章DFT和FFT处理39图11.22例11.8的DFT第11章DFT和FFT处理40第11章DFT和FFT处理41DFT，这次是图11.23(b)所示跳动的DFT。第11章DFT和FFT处理42第11章DFT和FFT处理43第11章DFT和FFT处理44第11章DFT和FFT处理4511.2与傅里叶变换的关系•傅里叶变换(本书未讲)给出了模拟信号的频谱特性。因为傅里叶变换是针对纯粹的模拟信号，而不是数字信号，所以不受采样和量化的影响。•但是，计算傅里叶变换要用到准确描述模拟信号的数学函数，这在多数情况下都难以实现。数字域傅里叶分析的目的就是尽可能地逼近傅里叶变换所给出的信息。比如，DTFT提供了模拟信号采样形式的频谱信息。第11章DFT和FFT处理46•DTFT可以近似表示傅里叶变换，但受频谱混叠和量化等误差的影响。•傅里叶变换和DTFT都给出平滑连续的频谱。另一方面，DFT只是获得DTFT采样形式的适合处理器的方法，如图11.1所示。因此，DFT也接近原始傅里叶变换。•傅里叶变换、DTFT和DFT的关系可以通过图形非常容易地说明。如图11.28所示，左边为时域，右边为频域。为了简便，图中频域只画出了幅度频谱，相位频谱省略。第11章DFT和FFT处理47•图11.28(a)为所研究的模拟信号和傅里叶变换所得的频谱。•傅里叶变换表示了模拟信号的频率分量。因为取值和时间都是连续的，所以无论信号还是它的傅里叶变换都不易于通过计算机处理。奈奎斯特采样理论性连续模拟信号的频谱特dtetxfXdfefXtxtfjtfj)()()(21)(第11章DFT和FFT处理48•如式(11.1)和(11.2)，DFT和IDFT能够把时域和频域的信息减少到有限点上。•本节的目的就是给出DFT和IDFT式的含义，并给出傅里叶变换、DTFT和DFT的直观联系。第11章DFT和FFT处理49•计算图11.28(a)(i)中信号的DFT，如图11.28(g)(ii)所示，需要以下三个具体步骤：1.时域采样2.时域加窗3.频域采样第11章DFT和FFT处理50•对信号进行采样等于将其乘以一系列脉冲函数。脉冲函数如图11.28(b)(i)所示，所得采样信号如图(c)(i)所示。•而且，如图11.28(b)(ii)和附录J所示，脉冲函数序列的频谱本身也是一系列脉冲函数。•由于图11.28(c)(i)中的采样信号x[n]是在时域中通过(a)(i)和(b)(i)相乘得到的，其频谱就是频域中(a)(ii)和(b)(ii)的卷积。这个关系将在附录D中详述：时域中的相乘相当于频域中的卷积。频谱与一系列脉冲函数卷积，在每一个脉冲的位置上产生一个频谱的副本，见附录K中的说明。•因此，将图11.28(a)(ii)原信号的频谱与(b)(ii)脉冲序列的频谱卷积得到(c)(ii)的频谱副本，这就是DTFT。它含有(a)(ii)基本傅里叶变换的多个频谱副本，但受到量化和频谱混叠所产生误差的影响。这些误差最终延续到DFT，DFT是由DTFT得到的。第11章DFT和FFT处理51DFT与傅里叶变换的关系总结•DTFT：离散时间傅里叶变换。采样信号的频谱，是原连续信号频谱的以采样频率的整数倍为中心的副本（第二章推导过）。•DFT：DTFT的频域采样值（离散值）jcjcststssdtesXjsXLtxdtetxsXtxLNffkfNkfkX)(21)]