DSP第三章Z变换0

主要内容•§3-1引言•§3-2-1Z变换的定义及收敛域•§3-2-2Z反变换•§3-3Z变换的基本性质和定理•§3-4Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系•§3-5傅氏变换的一些对称性质•§3-6离散系统的系统函数及频率响应§3-1引言信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。二.变换域分析法1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。nnznxnxZzX)()]([)(§3-2-1Z变换的定义及收敛域一.Z变换定义：序列x(n)的Z变换定义如下：Z变换存在的充要条件是上面的级数收敛。二.收敛域1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。Mznxnn)(即：3.一些序列的收敛域(1).预备知识阿贝尔定理:如果级数，在收敛,那么,满足0≤|z||z+|的z,级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。)0(zz0()nnxnz]Re[z]Im[zjz]Re[z]Im[zjz同样,对于级数，满足的z，级数必绝对收敛。|z_|为最小收敛半径。0)(nnznxzz0n2n1n(n)...x(2).有限长序列nnnnnxnx其他,0),()(21;)(,)()(2121nnnznxznxzXnnnnn，若;)(21nnnznxn，是有界的，必有考虑到01/,00,nnnnnnnzzzznzzzz因此，当时，只要，则同样，当时，只要，则结论：0z00,(0,)zzzz收敛域为也就是除外的开域，即所谓“有限平面”。]Re[z]Im[zj)()(nnx021nn1)()]([0ZZnnZnn其收敛域应包括即充满整个Z平面。,,0zz,0z[例3-1]求序列的Z变换及收敛域。解：这相当时的有限长序列，11,0),()(nnnnnxnx1110)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzXx(n)n0n1..1...3.右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|∞;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为Rx-|z|≤∞;两者都收敛的域亦为Rx-|z|∞;Rx-为最小收敛半径。xR]Re[z]Im[zj收敛域(4)因果序列0,00),()(nnnxnxzRx即收敛域一定是某个圆的外部！它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：]Re[z]Im[zjza0nnnnnnnnnazazazazzaznuazX)()(1)()()(1211010)()(nuanxn当时，这是无穷递缩等比级数。az为解析函数，故收敛。外，为极点，在圆。)(111,111zXazazazzazqaSazq[例]求序列的Z变换及收敛域。解：*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。]Re[z]Im[zjza0收敛域：az*收敛域中没有极点；收敛域总是以极点为边界2201()()()()nnnnnnnnXzxnzxnzxnz(5)左边序列22,0),()(nnnnnxnxx(n)0nn2z0xR第二项为有限长序列,其收敛域;第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为;为最大收敛半径.xRz00xzR收敛域为]Re[z]Im[zjxRz[例2-3]求序列的Z变换及收敛域。nnnnnnnnnnzbzbzbzbzbznubnx)()()1()(121111)1()(nubnxn同样的，当|b||z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。]Re[z]Im[zjb收敛域：bz*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。bzzzbzbzX111)(故其和为解01)()()()(nnnnnnznxznxznxzX(6)双边序列0nx双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。右边序列(因果)左边序列xRz0xRzxxRzRRx-Rx+xR]Re[z]Im[zjxR第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：xRz0xRzxR]Re[z]Im[zjxR当Rx-Rx+时，其收敛域为xxRzR例x(n)=a|n|,a为实数，求其Z变换及收敛域。解这是一个双边序列，其Z变换为01)()(nnnnnnnnzazaznxzX设||/1||1)(||||11)(12101azazazzazXazazzazXnnnnnn若|a|1，则存在公共收敛域||/1||||)1)(()1(1111)()()(2121azaazazzaazazzXzXzX其序列及收敛域如图所示。若|a|≥1，则无公共收敛域，因此也就不存在Z变换的封闭函数，这种序列如图。序列两端都发散，显然这种序列是不现实的序列。图双边序列及收敛域jIm[z]Re[z]1/aoaa|n|ono＜a＜1图Z变换无收敛域的序列a|n|a＞1on3-2-2Z反变换一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。)]([)(1zXZnx记作：*X(z)与其收敛域一起才能与序列一一对应1()(),1()(),(,)2nxxnnxxcXzxnzRzRxnXzzdzcRRj正：反：z变换公式：积分路径C为收敛域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.]Im[zj]Re[zxRxR0c1.留数法（围线积分法）由留数定理可知：cmzznnckzznnmkzzXsdzzzXjzzXsdzzzXj])([Re)(21])([Re)(211111*为c内的第k个极点，为c外的第m个极点，Res[]表示极点处的留数。mzkz二.求Z反变换的方法1)(nzzX2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：11111Re[()][()()](1)!rrlnlnzzrzzldsXzzzzXzzldz留数的求法：1、当Zr为一阶极点时的留数：rrzznrZZnzzXzzzzXs])()[(])([Re11[例3-4]已知解:1）当n≥-1时,不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点因此441,)41)(4()(2zzzzzX)41)(4()(11zzzzzXnn1nz41rz11411()Re[/(4)()]41()144,111544nznnxnszzzn，求z反变换。2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)阶极点；而在C外仅有z=4(一阶)这个极点:2,4151414)4()]41)(4/([Re)(2141nzzzsnxnnzn2,41511,4151)(2nnnxnn因此2.部分分式法有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。kAxa)(kBAxxbax)(2通常，X(z)可表成有理分式形式：其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：0110111()()()1(1)1MiiMNNrrnikknNkinkkkiiibzACBzXzBzAzzzzzazrkzzrikrkrkzzkikzzxzzdzdkrCzzXsA2,1,)()[()!(1])([Re2,)5.01()21(1)(11zzzzX5.02)5.0)(2()()5.0)(2()5.01)(21(1)(21211zAzAzzzzzXzzzzzzX的z反变换。[例3-5]利用部分分式法，求解：分别求出各部分分式的z反变换（可查P43表3-1），然后相加即得X(z)的z反变换。5.031234)(31])()5.0[(34])()2[(5.0221zzzzzXzzXzAzzXzAzz0,00,)5.0(31234)(1343,2nnnxpznn得表查又3.幂级数展开法(长除法)2102)2()1()0()1()2()()(zxzxzxzxzxznxzXnnx(n)的Z变换为Z-1的幂级数，所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域|Z|Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成Z的正幂级数。思考若收敛域Rx+|Z|Rx-,x(n)必为双边序列，主要展成Z的？幂级数。[例3-6]试用长除法求的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列)441,)41)(4()(2zzzzzX*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。14214()416[(4)]1154411()14[()]141544zzXzAzzXzAzz414)41)(4()(21zAzAzzzzzX)41416(1514115141516)(4115/1415/16)(zzzzzzzzzXzzzzX4-Z)4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z2233314141444411655116...Z-—)Z141+—Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3...0,)41(1511,)4(151)()641641441664(151)(23212345nnnxzzzzzzzzzXnn进而得：得§3-3Z变换的基本性质和定理如果则有：yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ,)()]([,)()]([*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。*若线性组合中有零点极点互相抵消，则收敛域可能扩大。1.线性),min(),max(),()()]()([yxyxRRzRRzbYz