Duffing方程介绍与仿真应用

非线性电路理论及应用报告Duffing方程介绍与仿真应用姓名：马博学号：3113162025班级：硕3022班完成时间：2013.12摘要在非线性振动理论研究中，Duffing方程是一种具有代表性的微分方程式。本文首先对Duffing方程进行了简单介绍，包括其类型以及根据电路的推导等；其次，本文对硬特性的Duffing方程进行了不同参数下的Matlab仿真；最后，本文介绍了Duffing方程的微弱信号频率检测，以Holmes型Duffing方程为例进行了分析说明。关键词：Duffing方程；非线性；Matlab仿真；混沌；弱信号检测1Duffing方程简介非线性振动问题的研究通常包括定性研究与定量研究。定性研究的主要内容包括方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性的研究等。著名的Duffing方程在非线性动力学系统的研究中占有重要地位。其特点之一是在Duffing方程等号右边加上了外加强迫项，进而形成了非自治非线性系统。正是由于系统的本征频率与外加周期强迫项的频率的相互作用，才使得该方程中蕴含着极其丰富的内容：倍周期分叉、混沌、清晰大周期等现象[1]。Duffing方程的准形式为：22(x)(x,t)dxdxgfdtdt其中0为阻尼系数，g(x)是含有三次方项的非线性函数，(x,t)f为一周期函数。Duffing方程通常作如下分类[2]：1.假设g(x)满足超线性条件||g(x)limxx则称Duffing方程是超线性的；2.假设g(x)满足次线性条件||g(x)lim0xx则称Duffing方程是次线性的；3.假设g(x)满足半线性条件||||g(x)g(x)0liminflimsupxxxx则称Duffing方程是半线性的。若将Duffing方程规范化，有以下四种基本类型[3]：232(t)(t)cos(t)dxdxkxxfdtdt（1-1）232(t)(t)cos(t)dxdxkxxfdtdt（1-2）232(t)cos(t)dxdxkxfdtdt（1-3）232(t)(t)cos(t)dxdxkxxfdtdt（1-4）其中k大于零，是阻尼系数，cos(t)f是系统外力。式（1-1）称为硬特性杜芬方程；式（1-2）、式（1-4）称为软特性杜芬方程；式（1-3）称为日本型杜芬方程；此外，式（1-4）又称为Holmes型。本文选用硬特性杜芬方程进行详细研究。本节主要讨论如下的硬特性Duffing方程形式如下：232sindxdxxxftdtdt（1-5）用上述方程来描述的一种并联LC铁磁混沌振荡电路，其电路图如图1-1所示。电路由交流电压源供电。图1-1并联LC铁磁混沌振荡电路在图1-1中，非线性电感是一个含铁芯的电感线圈，当电感线圈磁通饱和时，电感电流为：3Liab非线性电感是一个磁通链控制型的电感，是此电路中唯一的非线性器件，而电容C、电阻R均为线性器件。对图1-1可得Cdudt（1-6）31()[()]CCsduCabuutdtR（1-7）其中()sinsmutUt。为了分析方便，对方程进行归一化处理，令wt，dwdt则以上方程（1-6）和（1-7）可以分别被表示为Cudd（1-8）3()()CCsduuuabdCCCRCR（1-9）又令x，cuy，则dxyd3221()sinmUdyabxxydCCCRCR为了分析方便，我们令21aC，21bC，1kCR，2mUfCR，1R上式中是小参数，则上述方程改写为dxyd（1-10）3()sindyxxkyfd（1-11）为了便于仿真，我们仍然将写为t，方程用一个二阶微分方程来表示，即为232sindxdxxxkftdtdt（1-12）这即为著名的Duffing方程的第二种形式。2Duffing方程的Matlab仿真根据公式（1-5），利用Matlab中的Simulink模块选用不同的电子元器件，设置不同参数，对其进行仿真模拟。MATILAB中的Simulink是一个动态系统建模仿真和分析的软件包，它是一种基于MATLAB的框图设计环境，支持线性系统和非线性系统，可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。Simulink中包括许多实现不同功能的模块库，选择不同的模块建模就能模拟出不同的系统[3]。仿真模型如图2-1所示。图2-1Simulink模块建立的仿真图像混沌运动最为明显的特征之一就是对初值的敏感性，表现为从任意靠近两个初始值出发的轨道在一定时间区间内将会以指数形式分离，系统的初始值的极其微小的改变，能够使系统的震荡输出产生本质的差异。对于离散动力学系统而言，可以利用李雅普诺夫指数对这一特征进行很好的说明。接下来利用仿真模型，选取不同的参数值，对Duffing方程进行仿真分析，结果如图2-1、2-2、2-3、2-4、2-5所示。(a)波形图(b)平面图图2-1初始值（0，0），0.1k，10f(a)波形图(b)平面图图2-2初始值（0，0），0.1k，20f(a)波形图(b)平面图图2-3初始值（0，0），0.1k，40f(a)波形图(b)平面图图2-4初始值（0，0），0.1k，80f(a)波形图(b)平面图图2-5初始值（0，0），0.1k，92.825f分析以上各图，可以发现当参数发生变化时，系统特性发生变化，波形图和平面图并没有很强的规律性，这反映了确定系统中的不确定性的行为特征。如图2-5所示，在参数满足0.1k，92.825f的时候，该系统的轨线满足不交率，即两条最大轨线不可能穿过同一常点，因为其解的光滑映射是唯一的，所以其轨线在相空间只能缠绕而不会相交，这时系统出现混沌现象。3基于Duffing方程的微弱信号频率检测微弱信号检测(WeakSignalDetection)是测量技术中的综合技术和尖端领域，由于它能测量传统观念认为不能测到的微弱量，所以才获得迅速发展和普遍重视。微弱信号检测的目的是利用电子学、信息论和物理学方法，研究被测信号的特点和相干性，检测被背景噪声覆盖的弱信号。其任务是发展弱信号检测理论，探索新的方法和理论，研究新的检测设备以及在各学科中推广应用[1]。微弱信号检测方法在故障维修中发挥重要作用。将微弱信号检测方法引入诊断领域，可以实现故障的早期诊断。通过故障的早期诊断与预报来实现故障维修方案，从而可以降低设备的寿命周期费用和维修人员的需求。文献[4]中以Holmes型Duffing振子为例进行分析，如公式（1-4）所示，具体形式如下：232(t)(t)cos(t)dxdxkxxdtdt（3-1）其中系数k为阻尼比，3(t)(t)xx为非线性恢复力，cos(t)为周期策动力。在MATLAB/Simulink环境下对微弱正弦信号进行混沌检测的系统建模，如图3-1所示。图3-1频率为1/rads时的系统仿真模型微弱正弦信号混沌检测原理：首先调节系统策动力幅值γ，取γ=d，其中d为系统阈值[5]。使系统处于从混沌状态向大尺度周期状态过渡的临界状态。当用小幅值的、与周期策动力频率相近的正弦信号以及白噪声对Duffing混沌振子进行摄动时，系统将从混沌运动状态进入大尺度周期运动状态，通过在计算机上观测混沌系统相轨迹变化，可知待检信号中是否含有所要检测的正弦信号。此时，我们只要继续调节策动力幅值γ，使得系统再一次处于混沌到大尺度周期的临界状态，得到此时的策动力幅值'd，则可求得待测信号的幅值为d'da。通过对Duffing振子的研究表明，如果待检信号与策动力频率之间存在一个极微小的频率差，系统将会出现混沌状态和周期状态的间歇性混沌现象。在非线性系统中，无论是时间上还是在空间上，间歇混沌是一种有序和无序交替变化的特殊的动态形式，在一定时间内类似于规律性的周期运动。从式（3-1）着手进行分析，在方程的右端策动力中加入待测信号，得式（3-2）如下：232(t)(t)(t)dxdxkxxAdtdt（3-2）其中：(t)coscos((1)t)aAta（3-3）a为周期策动力的幅值（等于或略小于相轨迹变化临界值d），cos((1)t)a表示外界待检测信号，a为待测信号的幅值，为其相位。由式（3-3）可以看出，(t)A为周期策动力幅值和微弱信号幅值的矢量和，由于频率差的存在，总的策动力幅值(t)A将在a+a和a-a之间不断变化。可以将总策动力表示成矢径合成的形式，如图3-1所示，可以更清楚的看出总策动力的消长规律。图3-2总策动力的合成矢径图对总策动力(t)A进行数学变换得：(t)coscos((1)t)(t)cos(t(t))aAta（3-4）其中：22(t)2cos()aaawta（3-5）sin()(t)arctgcos()aawtawt（3-6）对公式（3-6）进行分析可得：1.若0w，它表示此时待测信号的频率与策动力的频率正好相同。在这种情况下，当外界待测信号与策动力之间的相位差满足：arccos()arccos()22aaaa（3-7）就有(t)a成立，可以推导出：(t)ad，则此时系统始终处于混沌状态。则外界待测信号与策动力之间的相位差在式（3-7）范围之外，系统才有可能发生从混沌状态到周期状态的跃迁。2.若0w，在存在微小频率差的情况下，(t)将时而大于混沌周期临界值d而进入周期状态，时而小于d而进入混沌状态，因而呈现出特定的间歇性混沌现象。在间歇性混沌中，当w很小时，(t)A变化非常缓慢，远远慢于相变过程，一般相变过程为1～2个周期，而系统维持稳定周期状态和稳定混沌状态的时间是几十个周期，即系统对于策动力的缓慢变化能够很好的响应，因此周期状态和混沌状态出现是周期性的，其周期易得：2/Tw3.由于aa，所以(t)非常小，它的变化对于系统的作用很微小，可以忽略不计。由以上分析可知：如果能够检测出间歇混沌的周期，则外界干扰信号的频率就可以间接计算出来。当d一定时，使Duffing系统处于混沌状态。首先将噪声引入到此系统中，虽然噪声非常强烈，但它只能使原先的相平面内的轨迹变得粗糙一些，而不能使系统发生相变，即不能由混沌状态转变到大尺度周期状态；其次，引入噪声背景下的微弱正弦信号，如果外界微弱正弦信号的频率w与参考信号的频率0w相等，分析知，只要adA，不管外界微弱正弦信号幅值多么小，系统将迅速地变化到大尺度周期状态，并且此时的周期状态稳定性极好，使得系统返回到原先的混沌状态可能性极小。因此，通过识别系统状态是否发生相变，可以判断是否存在周期为0w的信号。通过可调标准频率信号的频率设置值和其频率调解量，就可以计算出实际被测信号的频率；通过期望有规律间歇混沌的频率，可得到实际被测频率的计算误差。参考文献[1]张健.基于混沌的频率测量方法及仿真研究[D].哈尔滨理工大学，2005.[2]王海波.Duffing方程非线性振动特性的计算与分析[D].西安建筑科技大学，2009.[3]张静，韩仿仿.杜芬振子的仿真分析[J].科技广场.2007(09)：29-31.[4]韩振榕.基于Duffing振子的微弱信号检测研究[D].苏州大学，2006.[5]魏新建.基于Duffing混沌振子的弱信号检测方法[D].天津大学，2010.