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1数值分析课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：2043063课程名称：数值分析课程性质：专业基础课先修课程：高等数学、线性代数、算法语言后续课程：计算机图形学、图形图像处理、现代科学计算、并行计算、云计算及其编程导论、数据仓库与数据挖掘概论适用专业：计算机/信安、电信、通信工程开课学期：必修课/选修课学时：54学分：3二、课程简介、目标与任务课程简介：《数值分析》是研究各种数学问题求解的数值计算方法。在计算机成为数值计算的主要工具以后，人们迫切要求研究适合计算机使用的数值计算方法。主要内容为多项式插值，函数逼近与计算，数值积分与数值微分，常微分方程数值解法，一元函数方程求根，线性方程组求解的直接法与迭代法，矩阵特征问题计算。目标与任务：通过本课程的学习，学生应充分理解计算方法的特点，熟练掌握使用各种数值方法解决数学问题的技巧，为今后结合计算机的应用而解决实际问题打下坚实的基础。三、课程内容与安排（一）内容及基本要求第一章绪论§1.1数值分析研究的对象与特点§1.2误差来源与误差分析的重要性§1.3误差的基本概念2误差与误差限相对误差与相对误差限有效数字数值运算的误差估计§1.4数值运算中误差分析的方法与原则【重点掌握】误差度量；误差分析的原则和方法【掌握】数值分析的对象与特点；误差来源；初等运算的误差估计；算法的计算机实现【理解】误差的基本概念与数值运算中误差分析的原则和方法第二章插值法§2.1引言§2.2Lagrange插值插值多项式的存在唯一性线性插值与抛物插值拉格朗日插值多项式插值余项§2.3逐次线性插值法§2.4均差与Newton插值公式均差及其性质牛顿插值公式§2.5差分与等距节点插值公式差分及其性质等距节点插值公式§2.6Hermite插值§2.7分段低次插值多项式插值的问题分段线性插值分段三次埃尔米特插值§2.8三次样条插值三次样条函数三转角方程3三弯矩方程计算步骤与例题三次样条插值的收敛性【重点掌握】拉格朗日插值公式，插值余项；均差，牛顿插值公式；埃尔米特插值。【掌握】多项式插值公式的存在唯一性条件及其余项表达式的推导；拉格朗日插值多项式及其基函数的性质；牛顿插值多项式的构造方法，差商的计算过程及有关性质；构造埃尔米特插值多项式的基函数法；逐次线性插值与分段低次插值；算法的计算机实现【理解】三次样条函数及三次样条插值函数的定义及其构造方法（三次样条函数，三转角方程，三弯矩方程）第三章函数逼近与计算§3.1引言与预备知识问题的提出维尔斯特拉斯定理连续函数空间C[a，b]§3.2最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫定理最佳一次逼近多项式里姆斯算法§3.3最佳平方逼近内积空间函数的最佳平方逼近§3.4正交多项式勒让德多项式切比雪夫多项式§3.5函数按正交多项式展开§3.6曲线拟合的最小二乘法一般的最小二乘逼近用正交函数作最小二乘拟合多元最小二乘拟合4§3.7Fourier逼近与快速Forier变换最佳平方三角逼近与三角插值快速傅氏变换(FFT)【重点掌握】切比雪夫定理；最佳一次逼近多项式；最佳平方逼近多项式；勒让德多项式；切比雪夫多项式；一般的最小二乘逼近【掌握】会用切比雪夫定理构造最佳逼近函数；能正确应用法方程组，获得最佳平方逼近函数；掌握曲线拟合的最小二乘方法，并能用该方法解决一些实际问题，如曲线拟合，解矛盾方程等；熟知正交多项式的有关性质，能用正交多项式获得最佳平方逼近多项式及最佳一致逼近多项式；算法的计算机实现【理解】理解最佳一致逼近、最佳平方逼近和最小二乘逼近的概念第四章数值积分与数值微分§4.1引言数值求积的基本思想代数精度的概念插值型的求积公式§4.2Newton-Contes公式柯特斯系数偶阶求积公式的代数精度几种低阶求积公式的余项复化求积法及其收敛法§4.3Romberg算法梯形法的递推化龙贝格公式李查逊外推加速法梯形法的余项展开式§4.4Gauss公式高斯点高斯—勒让德公式高斯公式的余项高斯公式的稳定性5带权的高斯公式§4.5数值微分中点方法插值型的求导公式实用的五点公式样条求导【重点掌握】柯特斯系数；龙贝格算法；高斯—勒让德多项式；高斯—切比雪夫多项式【掌握】掌握数值积分的基本思想，各类求积公式的构造方法；掌握牛顿—柯特斯公式，了解其与高斯公式的异同；会利用外推原理提高计算精度；会利用待定系数法、正交多项式构造高斯公式；会利用插值法构造数值微分公式；算法的计算机实现【理解】代数精度的概念及插值型求积公式的概念第五章常微分方程数值解法§5.1引言§5.2Euler方法尤拉公式后退的尤拉公式梯形公式改进的尤拉公式尤拉两步公式§5.3Runge-Kutta方法泰勒级数法龙格—库塔方法的基本思想二阶龙格—库塔方法三阶龙格—库塔方法四阶龙格—库塔方法变步长的龙格—库塔方法§5.4单步法的收剑性和稳定性单步法的收敛性单步法的稳定性§5.5线性多步法6基于数值积分的构造方法亚当姆斯显式公式亚当姆斯隐式公式亚当姆斯预测—校正系统基于泰勒展开的构造方法米尔尼公式哈明公式§5.6方程组与高阶方程的情形一阶方程组化高阶方程组为一阶方程组§5.7边值问题的数值情形试射法差分方程的建立差分问题的可解性差分方程的收敛性【重点掌握】尤拉公式；后退的尤拉公式；梯形公式；改进的尤拉公式；泰勒级数法；二阶龙格-库塔方法；基于泰勒展开的构造方法【掌握】了解常微分方程数值解法的研究内容，掌握构成方法的基本思想及其各方法的异同点；掌握尤拉法、改进的尤拉法、隐式尤拉法和梯形方法的基本公式和构造；会进行二阶龙格-库塔方法的推导，能用四阶经典龙格-库塔公式求解微分方程；会求单步法的局部截断误差及方法的阶；了解单步法的收敛性与稳定性；了解线性多步法构造方法；算法的计算机实现【理解】龙格-库塔方法的基本思想第六章方程求根§6.1根的搜索逐步搜索法二分法§6.2迭代法迭代过程的收敛性迭代公式的加工7§6.3牛顿法牛顿公式牛顿法的几何解释牛顿法的局部收敛性牛顿法应用举例牛顿下山法§6.4弦截法与抛物线法弦截法抛物线法§6.5代数方程求根多项式求值的秦九韶算法代数方程的牛顿法劈因子法【重点掌握】二分法；迭代过程的收敛性；牛顿公式【掌握】掌握用迭代法求方程近似根的基本思想；理解迭代过程的全局、局部收敛性定理并会判断迭代过程的收敛阶；二分法是求方程实根的一种大范围收敛的方法。若给定近似解的误差和二分区间，能预估二分次数；了解弦截法与抛物线法；算法的计算机实现【理解】理解牛顿迭代公式是如何推导的，会用牛顿法求方程的近似根第七章解线性方程组的直接方法§7.1引言§7.2高斯消去法高斯消去法矩阵的三角分解计算量§7.3高斯主元素消去法完全主元素消去法列主元素消去法高斯—若当消去法§7.4高斯消去法的变形直接三角分解法8平方根法追赶法§7.5向量和矩阵的范数§7.6误差分析矩阵的条件数舍入误差【重点掌握】高斯消去法；高斯列主元消去法；杜利特尔分解；向量范数；矩阵范数；条件数【掌握】掌握高斯消去法及高斯列主元消去法，能用这两种方法求解方程组及计算矩阵的行列式；掌握杜利特尔分解法的唯一可分的充分条件，分解形式，计算次序和算法的稳定性；掌握对称正定矩阵的三角分解的分解形式，计算次序和算法的稳定性；会应用改进的平方根法与追赶法；掌握向量、矩阵范数和矩阵的条件数的定义，了解它们的性质，能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计；算法的计算机实现【理解】对每一个方法，应弄清楚它的基本思想，适用范围，计算公式以及对于误差的估计。第八章解线性方程组的迭代法§8.1引言§8.2雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法雅可比迭代法高斯—塞德尔迭代法§8.3迭代法的收敛性§8.4解线性方程组的超松弛迭代法【重点掌握】雅可比迭代法；高斯-塞德尔迭代法；迭代法的收敛条件；从系数矩阵判断的收敛条件【掌握】掌握雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法的计算分量形式、矩阵形式和它们的迭代矩阵表示式；会应用超松弛迭代法解线性方程组；能用迭代阵的范数判别迭代法的收敛性；会根据方程组系数矩阵的严格对角优势性，判明雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代对任意初始向量的收敛性；掌握方程组的系数矩阵是对称正定阵时，高斯-塞德尔迭代法及松弛因子满足必要条件的超松弛迭代法对任意初始向量均收敛的结论；算法的计算机实现【理解】理解迭代法收敛的充要条件，会用迭代阵的谱半径判明迭代法的收敛性9第九章矩阵的特征值与特征向量计算§9.1引言§9.2幂法及反幂法幂法加速方法反幂法§9.3雅可比方法引言雅可比方法雅可比过关法§9.4豪斯荷尔德方法引言用正交相似变换约化矩阵§9.5QR算法引言QR算法带原点位移的QR方法【重点掌握】幂法；反幂法【掌握】基本概念；圆盘定理；幂法加速方法；雅可比方法；算法的计算机实现【理解】豪斯荷尔德方法与QR方法的基本思想（二）学时分配与安排《数值分析》课程学时分配表内容课堂讲授（学时）课外上机（学时）第一章绪论32第二章插值法92第三章函数逼近与计算92第四章数值积分与微分62第五章常微分方程数值解62第六章方程求根6210第七章线性方程组的直接解法62第八章线性方程组的迭代解法32第九章矩阵的特征值与特征向量计算62总计5418四、教学方法与形式多媒体/板书+MATLAB程序演示课堂讲授+讨论五、考核方法与要求平时成绩：包括作业、出勤、课堂提问、讨论情况。试卷成绩：期末成绩。综合考核成绩：平时成绩*30%+期末成绩*70%。六、教材与主要参考书教材：《数值分析》，李庆扬等，华中科技大学出版社，第四版；主要参考书：1.《计算方法引论》，徐萃微孙绳武等，高教出版社，第二版；2.《数值计算方法》，傅凯新黄云清等，湖南科技出版社，第一版；3.《计算方法引论-基于matlab的数值分析》，(美)中村小一郎著//梁恒等译，电子工业出版社，第二版制定人：审定人：批准人：日期：2012-06-30