精选高中数学数列分类典型试题及答案

总复习必须掌握的数列经典解题技巧第1页共16页精选高中数学数列分类典型试题及答案【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1.研究通项的性质例题1.已知数列}{na满足1111,3(2)nnnaaan.（1）求32,aa；（2）证明：312nna.解：（1）21231,314,3413aaa.（2）证明：由已知113nnnaa，故)()()(12211aaaaaaannnnn1213133312nnna，所以证得312nna.例题2.数列na的前n项和记为11,1,21(1)nnnSaaSn（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求nT.解：（Ⅰ）由121nnaS可得121(2)nnaSn，两式相减得：112,3(2)nnnnnaaaaan，又21213aS∴213aa故na是首项为1，公比为3的等比数列∴13nna（Ⅱ）设nb的公比为d，由315T得，可得12315bbb，可得25b故可设135,5bdbd，又1231,3,9aaa，由题意可得2(51)(59)(53)dd，解得122,10dd∵等差数列nb的各项为正，∴0d∴2d∴2(1)3222nnnTnnn例题3.已知数列na的前三项与数列nb的前三项对应相同，且212322...aaa128nnan对任意的*Nn都成立，数列nnbb1是等差数列.⑴求数列na与nb的通项公式；⑵是否存在Nk，使得(0,1)kkba，请说明理由.点拨：（1）2112322...28nnaaaan左边相当于是数列12nna前n项和的形式，可以联想到已知nS求na的方法，当2n时，1nnnSSa.总复习必须掌握的数列经典解题技巧第2页共16页（2）把kkab看作一个函数，利用函数的思想方法来研究kkab的取值情况.解：（1）已知212322aaa…12nna8n(n*N）①2n时，212322aaa…2128(1)nnan(n*N）②①－②得，128nna，求得42nna，在①中令1n，可得得41182a，所以42nna(nN*）.由题意18b，24b，32b，所以214bb，322bb，∴数列}{1nnbb的公差为2)4(2，∴1nnbb2)1(4n26n，121321()()()nnnbbbbbbbb(4)(2)(28)n2714nn(n*N）.（2）kkba2714kk42k，当4k时，277()()24fkk42k单调递增，且(4)1f，所以4k时，2()714fkkk421k，又(1)(2)(3)0fff，所以，不存在k*N，使得(0,1)kkba.例题4.设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：依题意得：2bn+1=an+1+an+2①a2n+1=bnbn+1②∵an、bn为正数，由②得21211,nnnnnnbbabba，代入①并同除以1nb得：212nnnbbb，∴}{nb为等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∵b1=2，a2=3，29,22122bbba则，∴2)1(),1(22)229)(1(22nbnnbnn，∴当n≥2时，2)1(1nnbbannn，又a1=1，当n=1时成立，∴2)1(nnan新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2.研究前n项和的性质例题5.已知等比数列}{na的前n项和为2nnSab，且13a.总复习必须掌握的数列经典解题技巧第3页共16页（1）求a、b的值及数列}{na的通项公式；（2）设nnnba，求数列}{nb的前n项和nT.解：（1）2n时，aSSannnn112.而}{na为等比数列，得aaa1112，又31a，得3a，从而123nna.又123,3aabb.（2）132nnnnnba，21123(1)3222nnnT231111231(2322222nnnnnT），得2111111(1)232222nnnnT，111(1)2412[](1)13232212nnnnnnnT.例题6.数列{}na是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b}n满足121(lglglg)kkbaaak*()Nk，（1）求数列{b}n的前n项和的最大值；（2）求数列{|b|}n的前n项和nS.解：（1）由题意：410nna，∴lg4nan，∴数列{lg}na是首项为3，公差为1的等差数列，∴12(1)lglglg32kkkaaak，∴1(1)7[3]22nnnnbnn由100nnbb，得67n，∴数列{b}n的前n项和的最大值为67212SS.（2）由（1）当7n时，0nb，当7n时，0nb，∴当7n时，212731132()244nnnSbbbnnn当7n时，12789nnSbbbbbb27121132()2144nSbbbnn∴22113(7)4411321(7)44nnnnSnnn.例题7.已知递增的等比数列{na}满足23428aaa，且32a是2a，4a的等差中项.（1）求{na}的通项公式na；（2）若12lognnnbaa，12nnSbbb求使总复习必须掌握的数列经典解题技巧第4页共16页1230nnSn成立的n的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=12（舍）∴an=2·2（n－1）=2n（2）∵12log2nnnnbaan，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n）∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，若Sn+n·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.例题8.已知数列}{na的前n项和为Sn，且11,,nnSa成等差数列，*1,1Nna.函数3()logfxx.（I）求数列}{na的通项公式；（II）设数列{}nb满足1(3)[()2]nnbnfa，记数列{}nb的前n项和为Tn，试比较52512312nnT与的大小.解：（I）11,,nnSa成等差数列，121nnSa①当2n时，121nnSa②.①－②得：112()nnnnSSaa，13nnaa，13.nnaa当n=1时，由①得112221Saa，又11,a2213,3,aaa{}na是以1为首项3为公比的等比数列，13.nna（II）∵xlogxf3，133()loglog31nnnfaan，11111()(3)[()2](1)(3)213nnbnfannnn，1111111111111()224354657213nTnnnn11111()22323nn525,122(2)(3)nnn比较52512312nnT与的大小，只需比较2(2)(3)nn与312的大小即可.222(2)(3)3122(56156)2(5150)nnnnnn又2(15)(10)nn∵*,Nn∴当*19Nnn且时，5252(2)(3)312,;12312nnnnT即当10n时，5252(2)(3)312,;12312nnnnT即当*10Nnn且时，5252(2)(3)312,12312nnnnT即.3.研究生成数列的性质总复习必须掌握的数列经典解题技巧第5页共16页例题9.（I）已知数列nc，其中nnnc32，且数列nnpcc1为等比数列，求常数p；（II）设na、nb是公比不相等的两个等比数列，nnnbac，证明数列nc不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有（cn+1－pcn）2=（cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），将cn=2n＋3n代入上式，得[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，即[（2－p）2n+（3－p）3n]2=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][（2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，整理得61（2－p）（3－p）·2n·3n=0，解得p=2或p=3.（Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn.为证{cn}不是等比数列只需证22c≠c1·c3.事实上，22c=（a1p＋b1q）2=21ap2＋21bq2＋2a1b1pq，c1·c3=（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）=21ap2＋21bq2＋a1b1（p2＋q2）.由于p≠q，p2＋q22pq，又a1、b1不为零，因此22cc1·c3，故{cn}不是等比数列.例题10.n2（n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆已知a24=1，163,814342aa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆求S=a11+a22+a33+…+ann新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：设数列{1ka}的公差为d，数列{ika}（i=1，2，3，…，n）的公比为q新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxck