小学四年级奥数教程——第一讲

小学四年级奥数教程第一讲高斯求和高斯的故事德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人。大约10岁时，老师在算术课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来！”每当有考试时他们班有如下的习惯：第一个做完的就把石板（当时通常用于写字）面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个个落起来。这道难题当然难不倒学过算术级数的人，但对于刚学算术不久的孩子来说，难度较大。老师心想：终于可以休息一下了！但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了。同时说道：“答案在这儿”。而其他学生还在埋头苦干，把数字一个个加起来，有的额头都出汗了。但高斯却静静地坐着，对老师投来的怀疑眼光毫不在意。考完后，老师一张张地检查着石板，大部分都做错了，当然也免不了吃一顿鞭打。最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050。这正是正确的答案。老师吃了一惊！1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，高斯把这道题巧算为：（1+100）×100÷2＝5050。高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。根据等差数列的求和公式，可以变形得到如下的数量关系：项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差×（项数-1）首项=末项-公差×（项数-1）例1：⑴1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20＝？⑵2＋4＋6＋8＋…＋48＋50＝？分析：观察上面两道题，不难发现它们都是等差数列。第⑴题的首项是1，末项是20，共有20个数。而第⑵题的首项是2，末项是50，共有25个数。由等差数列求和公式可得：⑴1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20＝（1＋20）×20÷2＝21×20÷2＝210⑵2＋4＋6＋8＋…＋48＋50＝（2＋50）×25÷2＝52×25÷2＝650注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。练一练：⑴计算1＋2＋3＋4＋5＋…＋49＋50的和解：原式＝（1＋50）×50÷2＝51×50÷2＝1275⑵计算1＋3＋5＋7＋…＋97＋99的和解：原式＝（1＋99）×50÷2＝100×50÷2＝2500⑶第一行放了1颗糖，第二行放了2颗糖，第三行放了3颗糖，依此类推，第四十行放了40颗糖，第一～四十行一共放了多少颗糖？1＋2＋3＋4＋5＋…＋40＝（1＋40）×40÷2＝41×40÷2＝820（颗）例2：求5＋8＋11＋14＋…＋29＋32的和分析：这是一个公差为3、首项为5、末项为32的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出项数。根据项数＝（末项－首项）÷公差＋1，这个等差数列的项数是（32－5）÷3＋1＝10。解：（32－5）÷3＋1＝27÷3＋1＝9＋1＝105＋8＋11＋14＋…＋29＋32＝（5＋32）×10÷2＝37×10÷2＝185练一练：⑴计算3＋7＋11＋…＋43＋47的和解：（47－3)÷4＋1＝44÷4＋1＝11＋1＝123＋7＋11＋…＋43＋47＝(3＋47)×12÷2＝50×12÷2＝600÷2＝300练一练：⑵计算5＋10＋15＋…＋90＋95＋100的和解：（100－5)÷5＋1＝95÷5＋1＝19＋1＝205＋10＋15＋…＋90＋95＋100＝(5＋100)×20÷2＝105×20÷2＝2100÷2＝1050练一练：⑶美羊羊学做蛋糕，第一天做了5个蛋糕，以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了25个蛋糕，美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕？（25－5)÷2＋1＝20÷2＋1＝10＋1＝11(5＋25)×11÷2＝30×11÷2＝330÷2＝165例3：有一列数按如下规律排列：10、17、24、31…这列数中前80个数的和是多少？分析：这是一个公差为7、首项为10、项数为80的等差数列，末项未知。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出末项。根据末项=首项+公差×（项数-1），这个等差数列的末项是10＋7×（80－1）＝563。解：10＋7×（80－1）＝10＋7×79＝10＋553＝563（10＋563）×80÷2＝573×80÷2＝22920练一练：⑴有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……这列数中前24个数的和是多少？5＋4×（24－1）＝5＋4×23＝5＋92＝97（5＋97）×24÷2＝102×24÷2＝1224练一练：⑵小明练习写毛笔字，第一天写了8个大字，以后每一天都比前一天多写3个，小明30天一共写了多少个毛笔字？8＋3×（30－1）＝8＋3×29＝8＋87＝95（8＋95）×30÷2＝103×30÷2＝1545练一练：⑶有一堆粗细均匀的圆木，最上面有33根，每一层都比上一层多1根，一共堆了15层，这堆圆木一共有多少根？33＋1×（15－1）＝33＋1×14＝33＋14＝47（33＋47）×15÷2＝80×15÷2＝600例4：（2＋4＋6＋…＋2012）－（1＋3＋5＋…＋2011）分析：这道题可以分别求出括号内两个数列的和，然后相减。仔细观察，不难发现，这两个数列的项数一样多。而且前面括号内第一个数与后面括号内第一个数相减得1，前面括号内第二个数与后面括号内第二个数相减也得1……以此类推。解法一：（2012－2）÷2＋1＝2010÷2＋1＝1005＋1＝1006（2＋4＋6＋…＋2012）－（1＋3＋5＋…＋2011）＝（2＋2012）×1006÷2－（1＋2011）×1006÷2＝2014×1006÷2－2012×1006÷2＝1013042－1012036＝1006解法二：（2＋4＋6＋…＋2012）－（1＋3＋5＋…＋2011）＝（2－1）＋（4－3）＋…＋（2012－2011）＝1×1006＝1006练一练：⑴（7＋9＋11＋…＋25）－（5＋7＋9＋…＋23）解法一：（25－7）÷2＋1＝18÷2＋1＝9＋1＝10（7＋9＋11＋…＋25）－（5＋7＋9＋…＋23）＝（7＋25）×10÷2－（5＋23）×10÷2＝32×10÷2－28×10÷2＝160－140＝20解法二：（7＋9＋11＋…＋25）－（5＋7＋9＋…＋23）＝（7－5）＋（9－7）＋…＋（25－23）＝2×10＝20练一练：⑵1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋58＋59－60分析：计算这道题，可以变减为加，整体推算。其中，减数均为3的倍数，共有60÷3＝20（个）1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋58＋59－60＝（1＋60）×60÷2－（3＋60）×20÷2×2＝61×60÷2－63×20÷2×2＝1830－1260＝570例4：求所有加6以后被11整除的三位数的和。分析：解决这道题，首先应弄清楚“加6以后被11整除的三位数”是哪些数。“加6以后被11整除的三位数”，换一个说法，也就是“被11除余5的三位数。在这些数中最小的三位数是104，最大的三位数是995，而且相邻两数都相差11。即这些三位数依次是104、115、126、…995。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是104，末项是995，公差是11。解：项数＝（995－104）÷11＋1＝891÷11＋1＝81＋1＝82总和＝（104＋995）×82÷2＝1099×82÷2＝45059练一练：⑴100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？分析：100以内“加5后是6的倍数的数”，换一个说法，也就是“被6除余1的数。在这些数中最小的是1，最大的是91，而且相邻两数都相差6。即这些数依次是1、7、13、…91。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是1，末项是91，公差是6。解：项数＝（91－1）÷6＋1＝90÷6＋1＝15＋1＝16总和＝（1＋91）×16÷2＝92×16÷2＝736练一练：⑵在1—400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？分析：1—400中，所有“不是9的倍数的数的和”，可以先求出1—400各数的和，再去掉所有9的倍数的数的和，就能得到所要求的结果。而在所有9的倍数的数中，最小的是9，最大的是396，相邻两数都相差9。即这些数依次是9、18、27、…396。显然，它们成等差数列。项数是（396－9）÷9＋1＝44（1＋2＋3＋…＋400）－（9＋18＋27＋…＋396）＝（1＋400）×400÷2－（9＋396）×44÷2＝401×400÷2－405×44÷2＝80200－8910＝71290练一练：⑶求所有被7除余数是1的三位数的和是多少？分析：在被7除余数是1的三位数中，最小的是106，最大的是995，而且相邻两数都相差7。即这些数依次是106、113、120、…995。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是106，末项是995，公差是7。解：项数＝（995－106）÷7＋1＝889÷7＋1＝127＋1＝128总和＝（106＋955）×128÷2＝1101×128÷2＝70464