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LES,DNS,RANS模型计算量比较摘要：湍流流动是一种非常复杂的流动，数值模拟是研究湍流的主要手段，现有的湍流数值模拟的方法有三种：直接数值模拟（DirectNumericalSimulation:DNS），Reynolds平均方法（ReynoldsAverageNavier-Stokes:RANS）和大涡模拟(LargeEddySimulation:LES)。直接数值模拟目前只限于较小Re数的湍流，其结果可以用来探索湍流的一些基本物理机理。RANS方程通过对Navier-Stokes方程进行系综平均得到描述湍流平均量的方程；LES方法通过对Navier-Stokes方程进行低通滤波得到描述湍流大尺度运动的方程，RANS和LES方法的计算量远小于DNS，目前的计算能力均可实现。关键词：湍流；直接数值模拟；大涡模拟；雷诺平均模型1引言湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，这种运动表现出非常复杂的流动状态，是流体力学中有名的难题，其复杂性主要表现在湍流流动的随机性、有旋性、统计1性。传统计算流体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes（N-S）方程，根据N-S方程中对湍流处理尺度的不同，湍流数值模拟方法主要分为三种：直接数值模拟（DNS）、雷诺平均方法（RANS）和大涡模拟（LES）。直接数值模拟可以获得湍流场的精确信息，是研究湍流机理的有效手段，但现有的计算资源往往难以满足对高雷诺数流动模拟的需要，从而限制了它的应用范围。雷诺平均方法可以计算高雷诺数的复杂流动，但给出的是平均运动结果，不能反映流场紊动的细节信息。大涡模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度涡的运动，小尺度涡运动对大尺度涡的影响则通过建立模型体现出来，既可以得到较雷诺平均方法更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，又比直接数值模拟节省计算量，从而得到了越来越广泛的发展和应用。2直接数值模拟(DNS)湍流直接数值模拟(DNS)就是不用任何湍流模型，直接求解完整的三维非定常的N-S方程组,计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运动量在三维流场中的时间演变。2.1控制方程用非稳态的N-S方程对紊流进行直接计算,控制方程以张量形式给出:21iiijijijiuuupufvtxxxx（1）=0ijux（2）2.2主要数值方法由于最小尺度的涡在时间与空间上都变化很快，为能模拟湍流中的小尺度结构，具有非常高精度的数值方法是必不可少的。2.2.1谱方法或伪谱方法所谓谱方法或伪谱方法是目前直接数值模拟用得最多的方法，简单来说，就是将所有未知函数在空间上用特征函数展开，成为以下形式：123(,)mnpmnpmnpVxtatxxx（3）其中m，n与p，都是已知的正交完备的特征函数族。在具有周期性或统计均匀性的空间方向一般都采用Fourier级数展开，这是精度与效率最高的特征函数族。在其它情形，较多选用Chebyshev多项式展开，它实质上是在非均匀网格上的Fourier展开。此外，也有用Legendre,Jacobi,Hermite或Laguerre等函数展开，但它们无快速变换算法可用。如将上述展开式代入N-S方程组，就得到一组mnpat所满足的常微分方程组，对时间的微分可用通常的有限差分法求解。在用谱方法计算非线性项例如V的Fourier系数时，常用伪谱法代替直接求卷积。伪谱法实质上是谱方法与配置法的结合,具体做法是先将两量用Fourier反变换回到物理空间，再在物理空间离散的配置点上计算两量的乘积，最后又通过离散Fourier变换回到谱空间。在有了快速Fourier变换(FFT)算法以后，伪谱法的计算速度高于直接求两Fourier级数的卷积。但出现的新间题是存在所谓“混淆误差”，即在做两个量的卷积计算时会将本应落在截断范围以外的高波数分量混进来，引起数值误差。严重时可使整个计算不正确甚至不稳定，但在多数情形下并不严重，且有一些标准的办法可用来减少混淆误差，但这将使计算工作量增2加。2.2.2高阶有限差分法高阶有限差分法的基本思想是利用离散点上函数值if的线性组合来逼近离散点上的导数值。设iF为函数jfx的差分逼近式,则jjjFf（4）式中系数j由差分逼近式的精度确定，将导数的逼近式代入控制流动的N-S方程,就得到流动数值模拟的差分方程。差分离散方程必须满足相容性和稳定性。2.3优点(1)直接数值求解N-S方程组，不需要任何湍流模型，因此不包含任何人为假设或经验常数。(2)由于直接对N-S方程模拟,故不存在封闭性问题,原则上可以求解所有湍流问题。(3)能提供每一瞬时三维流场内任何物理量（如速度和压力）的时间和空间演变过程，其中包括许多迄今还无法用实验测量的量。(4)采用数量巨大的计算网格和高精度流体力学计算方法，完全模拟湍流流场中从最大尺度到最小尺度的流动结构，描写湍流中各种尺度的涡结构的时间演变，辅以计算机图形显示，可获得湍流结构的清晰与生动的流动显示。2.4缺点DNS的主要缺点是要求用非常大的计算机内存容量与机时耗费。据Kim,Moin&Moser研3究,即使模拟Re仅为3300的槽流,所用的网点数N就约达到了6210,在向量计算机上进行了250h。3雷诺平均模拟(RANS)雷诺平均模拟（RANS）即应用湍流统计理论,将非稳态的N-S方程对时间作平均,求解工程中需要的时均4量。所谓湍流模式理论，就是依据湍流的理论知识、实验数据或直接数值模拟结果，对Reynolds应力做出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均Reynolds方程封闭。3.1控制方程对非稳态的N-S方程作时间演算,并采用Boussinesp假设,得到Reynolds方程''21ijiiijijjjjjuuuuupufvtxxxxx（5）=0iiux（6）式中,附加应力可记为''ijijpuu,并称为雷诺应力。这种方法只计算大尺度平均流动,而所有湍流脉动对平均流动的影响,体现到雷诺应力ij中。正因为雷诺应力在控制方程中的出现,造成了方程不封闭，为使方程组封闭,必须建立模型。3.2主要方法目前工程计算中常用的湍流模型从对模式处理的出发点不同，可以将湍流模式理论分类成两大类：一类引入二阶脉动项的控制方程而形成二阶矩封闭模型，或称为雷诺应力模型，另一类是基于Boussinesq的涡粘性假设的涡粘性封闭模式，如零方程模型，一方程模型和二方程模型。3.2.1雷诺应力模型雷诺应力模型(RSM)从Reynolds应力满足的方程出发,直接建立以''ijuu为因变量的偏微分方程,将方程右端未知的项（生成项，扩散项，耗散项等）用平均流动的物理量和湍流的特征尺度表示出来，并通过模化封闭。封闭目标是雷诺应力输运方程:''''''''''ijijjikikjkijijijkkkuuuuuuuuuuuDtxxx（7）式中ij是雷诺应力再分配项,ijD是雷诺应力扩散项,ij是雷诺应力耗散5项。典型的平均流动的变量是平均速度和平均温度的空间导数。这种模式理论，由于保留了Reynolds应力所满足的方程，如果模拟的好，可以较好地反映Reynolds应力随空间和时间的变化规律，因而可以较好地反映湍流运动规律。因此，二阶矩模式是一种较高级的模式，但是，由于保留了Reynolds应力的方程，加上平均运动的方程整个方程组总计15个方程，是一个庞大的方程组，应用这样一个庞大的方程组来解决实际工程问题，计算量很大，这就极大地限制了二阶矩模式在工程问题中的应用。2.2.2涡粘性模型在工程湍流问题中得到广泛应用的模式是涡粘性模式。这是由Boussinesq仿照分子粘性的思路提出的，即设Reynolds应力为，,,,22()33ijTijjikkijijuuUUUk（8）这里12ijkuu是湍动能，T称为涡粘性系数，这是最早提出的基准涡粘性模式，即假设雷诺应力与平均速度应变率成线性关系，当平均速度应变率确定后，六个雷诺应力只需要通过确定一个涡粘性系数T就可完全确定，且涡粘性系数各向同性，可以通过附加的湍流量来模化，比如湍动能k，耗散率，比耗散率w以及其它湍流量/k，/2/3kl，kq，根据引入的湍流量的不同，可以得到不同的涡粘性模式，比如常见的k，k-w模式，以及后来不断得到发展的k，q-w，k-l等模式，涡粘性系数可以分别表示为/2kCT，kCT，kCT，2qCT，lkCT（9）3.3优点(1)对计算机的要求较低，同时可以得到符合工程要求的计算结果。(2)一旦给定合理的Reynolds应力模型，可以很容易地从RANS方程解出湍流的统计量，所需要的计算资源小。(3)几乎能对所有雷诺数范围的工程问题求解，并得出一些有用的结果。3.3缺点(1)对不同类型的湍流，需要采用不同的Reynolds应力模型，甚至对于同一类型的问题，对应于不同的边界条件需要修改模型的常数。(2)由于不区分旋涡的大小和方向性，对旋涡的运动学和动力学问题考虑不足，不能用来对流体流动的机理进行描述。(3)对于非定常流动、大分离流动、逆压力梯度数值模拟等问题，受湍流模型条件的限制，很难得到满意的计算结果。(4)严重依赖流场形状和边界条件，普适性差，计算很大程度上依赖于经验。4大涡数值模拟(LES)湍流大涡数值模拟（LES）是有别于直接数值模拟和雷诺平均模式的一种数值模拟手段。利用次网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度紊流运动的影响即直接数值模拟大尺度紊流运动,将N-S方程在一个小空间域内进行平均（或称之为滤波），以使从流场中去掉小尺度涡，导出大涡所满足的方程。4.1基本思想湍流运动是由许多大小不同的旋涡组成的。那些大旋涡对于平均流动有比较明显的影响，而那些小旋涡通过非线性作用对大尺度运动产生影响。大量的质量、热量、动量、能量交换是通过大涡实现的，而小涡的作用表现为耗散。流场的形状，阻碍物的存在，对大旋涡有比较大的影响，使它具有更明显的各向异性。小旋涡则不然，它们有更多的共性，更接近各向同性，因而较易于建立有普遍意义的模型。基于上述物理基础，LES把包括脉动运动在内的湍流瞬时运动量通过某种滤波方法分解成大尺度运动和小尺度运动两部分。大尺度要通过数值求解运动微分方程直接计算出来,小尺度运动对大尺度运动的影响将在运动方程中表现为类似于雷诺应力一样的应力项,该应力称为亚格子雷诺应力,它们将通过建立模型来模拟。实现大涡数值模拟,首先要把小尺度脉动过滤掉,然后再导出大尺度运动的控制方程和小尺度运动的封闭方程。4.2过滤函数大涡模拟第一步就是把一切流动变量划分成大尺度量和小尺度量，这一过程称之为滤波。滤波运算相当于在一定区间内按一定条件对函数进行加权平均，其目的是滤掉高波数而只保留低波数，截断波数的最大波长由滤波函数的特征尺度决定。目前较为常用的滤波函数主要有以下三种：Deardorff的盒式(BOX)滤波函数、富氏截断滤波函数和高斯(Gauss)滤波函数。不可压常粘性系数的紊流运动控制方程为N-S方6程:jijijjiixSxPxuutu)2(1（10）式中：S拉伸率张量，表达式为：2/)//(ijjiijxuxuS；分子粘性系数；流体密度。设将变量iu分解为方程(11)中iu和次网格变量(模化变量)iu,即iiiuuu,iu可以采用leonard提出的算式表示为:（11）式中)(xxG称为过滤函数，显然G(x)满足4.3控制方程将过滤函数作用与N-S方程的各项，得到过滤后的紊流控制方程组：(12)由于无法同时求解出变量iu和jiuu，所以将jiuu分解成ijijijuuuu，ij即称为次网格剪切应力张量(亦称为亚格子应力)。由此动量方程又可写成：(13)式中ij代表了小涡对大涡的影响。xdxuxxGxu