52椭圆-文科带解析

延津县第一高级中学2016届数学（文）第一轮复习导学案姓名班级组题：原学泰董芳林王素春编号：52第1页（共4页）椭圆【学习目标】1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．．【预习案】1．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆2．椭圆的标准方程与几何性质【预习自测】1.(2014·大纲全国理)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A．x23＋y22＝1B．x23＋y2＝1C．x212＋y28＝1D．x212＋y24＝1[解析]根据条件可知ca＝33，且AF1＋BF1＋AB＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝43，∴a＝3，c＝1，b＝2，椭圆的方程为x23＋y22＝1.2．(2013·广东)已知中心点在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A．x23＋y24＝1B．x24＋y23＝1C．x24＋y22＝1D．x24＋y23＝1[解析]依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，所以c＝1ca＝12c2＝a2－b2，解得a2＝4，b2＝3.3．(文)(2013·新课标Ⅱ)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A．36B．13C．12D．33[解析]解法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝3m2m＋m＝33.解法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±b2a，∴|PF2|＝b2a.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·b2a，变形可得3(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝33或e＝－3(舍去)．(理)(2014·广东广州二模)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A．16B．13C．36D．33[解析]设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.由于∠PF1F2＝30°，所以PF1＝2PF2，由勾股定理得F1F2＝PF21－PF22＝3PF2，由椭圆定义得2a＝PF1＋PF2＝3PF2⇒a＝3PF22，2c＝F1F2＝3PF2⇒c＝3PF22，所以椭圆的离心率为e＝ca＝3PF22·23PF2＝33.故选D．4.(理)(2014·江西理，15)过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．[解析]由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得x21a2＋y21b2＝1ab0，①x22a2＋y22b2＝1ab0.②①－②，并整理得x1＋x2a2y1＋y2＝－y1－y2b2x1－x2.(*)∵M是线段AB的中点，且过点M(1,1)的直线斜率为－12，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，k＝y1－y2x1－x2＝－12.∴(*)式可化为a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2∴e＝ca＝22.【合作探究】题型一：椭圆的标准方程延津县第一高级中学2016届数学（文）第一轮复习导学案姓名班级组题：原学泰董芳林王素春编号：52第2页（共4页）例1“－3m5”是“方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]要使方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，应满足5－m0m＋305－m≠m＋3，解得－3m5且m≠1，因此“－3m5”是“方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件[失误与防范]方程表示椭圆，应有5－m≠m＋3，这是易忽视的地方．[方法总结]1.给出二元二次方程，求方程表示椭圆时参数的取值范围，化为标准方程求解．2．给出椭圆的标准方程x2a2＋y2b2＝1，求满足某条件的参数的取值范围．焦点在x轴上，a2b20，焦点在y轴上，0a2b2..探究1.(2014·安徽理，14)若F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________[解析]如图，由题意，A点横坐标为c，∴c2＋y2b2＝1，又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，又∵|AF1|＝3|BF1∴B点坐标为(－53c，－13b2)，代入椭圆方程得，－53c2＋－13b22b2＝1，b2＝1－c2，∴c2＝13，b2＝23∴x2＋32y2＝1.题型二椭圆的定义例2.已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹方程为__________．[分析]内切两圆连心线长等于两圆半径的差．[解析]如图，设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.所以点P的轨迹是以A、B为两焦点，长半轴长为4，短半轴长为b＝42－32＝7的椭圆，方程为：x216＋y27＝1.[方法总结]椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．2．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，利用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．探究2.(2014·辽宁理，15)已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.[解析]设MN与椭圆的交点为D，由中位线定理．|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)由椭圆的定义知|DF1|+|DF2|＝2∴|AN|＋|BN|＝12.，故选A．题型三:椭圆的离心率例3.(2013·辽宁五校联考)设点A1、A2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1、A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．[解析]由题设知∠OPA2＝90°，设P(x，y)(x0)，以OA2为直径的圆的方程为(x－a2)2＋y2＝a24，与椭圆方程联立，得(1－b2a2)x2－ax＋b2＝0.易知，此方程有一实根a，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得0b2a1－b2a2a，化简得0a2－c2c21，即01－e2e21，得e212，所以e的取值范围为(22，1)．[方法总结]求椭圆离心率的方法．(1)用定义、标准方程求解；(2)取特殊值或特殊位置求解；(3)结合已知条件，构造a、b、c的方程，由b2＝a2－c2消去b，由e＝ca转化为关于e的一元二次方程(或一元二次不等式)求解．探究3.(文)(2014·山西朔州应县一中月考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点B，则椭圆的离心率为()延津县第一高级中学2016届数学（文）第一轮复习导学案姓名班级组题：原学泰董芳林王素春编号：52第3页（共4页）A．3－12B．5－12C．22D．32[解析]以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点B，则FB→⊥AB→，∴FB→·AB→＝0.FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)，∴FB→·AB→＝b2－ac＝0，即a2－c2－ac＝0.两边同除以a2，得e2＋e－1＝0，∴e＝5－12.(理)(2014·广东百所高中联考)设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，椭圆上一点M满足∠MF1O＝π3(O为坐标原点)，N为MF1的中点且ON⊥MF1，则椭圆的离心率为()A．3－1B．32C．2－2D．2－1[解析]连接MF2，则ON是△MF1F2的中位线，所以|NF1|＋|NO|＝12(|MF1|＋|MF2|)＝a，又因为∠MF1O＝π3，|OF1|＝c所以|NF1|＝12c，|NO|＝32c.所以12c＋32c＝a，得e＝ca＝21＋3＝3－1.题型四：与椭圆有关的最值问题例4若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8[解析]由题易知F(－1,0)，设P(x，y)，其中－2≤x≤2，则OP→·FP→＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3－34x2＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，当x＝2时，(OP→·FP→)max＝6.([解析]由题易知F(－1,0)，设P(x，y)，其中－2≤x≤2，则OP→·FP→＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3－34x2＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，当x＝2时，(OP→·FP→)max＝6.[方法总结]1.与椭圆有关的最值问题常常涉及－a≤x≤a，－b≤y≤b,0e1等一些不等式，要注意应用这些不等关系．2．函数思想在与椭圆有关最值问题中的应用：与椭圆有关的最值常常要根据条件建立目标函数，然后利用二次函数最值、基本不等式、三角形边角关系等方法求其最值．探究4：.(2014·上海六校联考)已知点F为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．[解析]椭圆的左焦点为F(－1,0)，右焦点为E(1,0)，根据椭圆的定义，|PF|＝2a－|PE|，∴|PF|＋|PQ|＝|PQ|＋2a－|PE|＝2a＋(|PQ|－|PE|)，由三角形的性质知，|PQ|－|PE|≤|QE|，当P是QE延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a＋|QE|＝22＋32＝52.[点评]常见的与椭圆有关的最值问题．(1)与定义有关．(2014·豫南一模)已知椭圆x29＋y2m＝1(0m9)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|的最大值为10，则m的值为()A．3B．2C．1D．3[解析]已知椭圆x29＋y2m＝1(0m9)中，a2＝9，b2＝m，|AF2|＋|BF2|＝4a－|AB|≤10，∴|AB|≥2.|AB|min＝2b2a＝2m3＝2，解得m＝3，故选A(2)与几何性质有关．已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若A点坐标为(3,0)，延津县第一高级中学2016届数学（文）第一轮复习导学案姓名班级组题：原学泰董芳林王素春编号：52第4页（共4页）|AM→|＝1，且PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是________．[解析]∵PM→·AM→＝0，∴AM→⊥PM→.∴|PM→|2＝|AP→|2－|AM→|2＝|AP→|2－1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP→|min＝2，∴|PM→|min＝3.(3)与焦点三角形及正弦定理有关椭圆x216＋y225＝1上点P到两焦点距离的乘积为m，当m取最大值时，点P