整式恒等变形一览(1)

初中数学中的整式恒等式一览表草根雾岩@初中理科班数学学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们进行查阅.比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！【1】在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同难度要求对恒等式进行分类.【课内涉及的恒等式】（1）平方差公式22ababab22ababba（2）完全平方和、差公式222()2abaabb222()2abaabb（3）平方和与完全平方和差的关系2222ababab2222ababab（4）完全平方和差的关系224ababab22222ababab（5）三项和完全平方公式2222222abcabcabbcca（6）两项轮换差的完全平方和22222212abcabbccaabbcca（7）十字相乘法2xpxqxpqxpq（8）分组分解法axbyaybxabxy【自招中涉及的公式】（1）立方和、差公式2233()()abaabbab2233()()abaabbab（2）完全立方和、差公式33223()33abaababb33223()33abaababb（3）立方和差与完全立方和差的关系3333abababab3333abababab（4）杨辉三角554322345510105abaababababb554322345510105abaababababb（5）四项和完全平方公式22222222222abcdabcdabacadbcbdcd【几个比较有名的配方公式】（1）22222222abcdacbdadbcacbdadbc这是著名的菲波那切（Fibonacci，1170--1250）恒等式.该恒等式可以推出二元柯西不等式.（2）2444222ababaabb（3）222222111nnnnnn（4）2224444222242abcdabcdabcdabcd该恒等式可以推出四元的均值不等式.（5）22123131xxxxxx该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数.（6）22222223122abbccaabcabc一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式.（7）44222242222nknnkknnkk双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一切整数1n，441n及44n都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain，1776--1831）定理【2】.当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t的数。【竞赛中常见的恒等式】（1）3332223abcabcabcabcabbcca22212abcabbcca一个非常有名的“民间定理”，很多的竞赛题与它有关.这个恒等式有很多称号，小编还查不到不知道哪个是真的.从它可以得到下面的恒等式：3332222223abbccaabbccaabbcca从它还可以推出三项的均值不等式.（2）两项n次方差公式（Ⅰ）1221...nnnnnnababaababb（n为正整数）（Ⅱ）1221...nnnnnnababaababb（n为正偶整数）（Ⅲ）1221...nnnnnnababaababb（n为正奇整数）后两个公式都源于公式（Ⅰ），都是b取b后，公式（Ⅰ）分别在奇数次幂和偶数次幂条件下展现的结果.所以只要记住第一个公式就可以啦！（3）1111abcabcabbccaabc这个公式的多元推广形式可用于求正整数n的所有正因数的和.展开后的结果非常好记忆.它的姊妹就稍微难一点：（4）1111abcabcabbccaabc（5）2222223abcabbccaababbcbaaacccbc（6）2222222abbccaababbcbccacaabc上面这两个恒等式经常一起出现，它们只差一个abc，常被用于证明一些有关分式的条件恒等式.（7）222222abbccaabbccaabbcca式子左边再乘以一些对称式（例如abc、222abcabbcca）可以得到一些很漂亮的结果.（8）444222222222abcabcabcabcabcabbcca等式左边将来会出现在著名的“海伦公式”中.（9）1111nnnnnn这个公式主要用于求递推数列nnnT的值，对给定,kl，上式可改写为：11nnnTkTlT.这样可逐步递推求得nT的值.可解决例如这样的问题：求201623的末位数.其推广形式为牛顿公式.（10）3333611xxxxx由这个恒等式可以证明任何整数都能表示成五个整数的立方和的形式.【学生小课题级别】（1）多项和完全平方公式22112nniiijiiijaaaa（2）三项和的完全立方展开式：3abc（3）牛顿公式法即用基本对称式1iin表达1nkkiiSx.例如：考虑3n时，记123,,xyzxyyzzxxyz则有：11221233112341322315142332233SSSSSSSSSSS78年的上海数学竞赛中出现过这样一个条件恒等式的证明【2】.若,,abc是实数，且满足0abc，试证明：（Ⅰ）555222333523abcabcabc.（Ⅱ）777222555725abcabcabc以及求下面这个恰定方程的实根问题，都可以用牛顿公式顺利解决.确定方程组222555333xyzxyzxyz的所有实数根.附注：【1】听到@Xu老师调侃时的妙句，改编收录于此！【2】来自王志雄老师的一本书.【3】题引自《数学奥林匹克试题背景研究》刘培杰著.