23、恒定磁场中的电子的运动

第1页§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量Page1迄今已经发展了若干的测定金属费密面的实验方法，这些方法有回旋共振、迪.哈斯-范耳芬效应、磁致电阻、磁声效应等。讨论电子在恒定磁场中的运动是分析许多重要物理效应的基础，例如：回旋共振、迪.哈斯-范耳芬效应讨论电子在恒定磁场中的运动可以有两个层次：一是基于准经典运动近似，所得结果物理图像明晰，但有一定局限性；另一种是基于量子理论，即求解含有磁场时系统的波动方程。本节主要介绍迪.哈斯-范耳芬效应，这是最典型的实验，它显示在均匀磁场中金属性质具有“1/B”的特征周期性。第2页Page2迪.哈斯-范耳芬效应后来人们又发现电导率、比热容等物理也有类似的振荡现象。1930年，迪.哈斯和范耳芬在研究低温下强磁场中铋单晶的磁化率时发现，磁化率随磁场“1/B”变化而振荡，随后在很多金属材料中都观察到了这一现象，这个现象称为迪.哈斯-范耳芬效应。研究发现，这些现象同金属费密面附近电子在强磁场中的行为有关，因而同金属费密面的结构有密切关系，这些效应现已成为研究费密面的有力工具。§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第3页§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量Page3)(1)(kEkvk一、恒定磁场作用下电子的准经典运动只有恒定均匀磁场时：Bkevdtdk)(由此，在k空间中：00dtdkBdtdkBdtdkzCkz波矢k的变化总是垂直于B的方向，假定磁场沿z方向，则波矢k沿磁场方向的分量不随时间变化。即在k空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动第4页Page40)(1)(kvdtdkkvdtdk波矢k的变化垂直于v的方向0)(dtkdE)(1)(kEkvk由于Lorentz力不做功，F⊥v,所以电子的能量值E(k)不随时间变化，电子在k空间的等能面上运动。电子在k空间的运动轨迹是垂直于磁场的平面和等能面的交线。§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第5页Page5mkkE2)(221、对于自由电子，等能面是球面，轨道为圆代入准经典运动的基本方程Bkmedtdkmkkv)(分量形式为0dtdkkmeBdtdkkmeBdtdkzxyyxBkevdtdkkEkvk)()(1)(自由电子的等能面为球面，与kz垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆。Kz保持不变，电子在kx—ky面内作匀速圆周运动。§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第6页Page6周期：0dtdvvmeBdtdvvmeBdtdvzxyyxeBmevBkdtdkdkdtTconstEconstE22回旋频率角频率：meBT2在实空间中的运动图像：对于自由电子：kmvconstvtvvtvvzyx0000sincosmeBvvvyx02220v取垂直于磁场的分量§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第7页Page7自由电子沿磁场方向（Z方向）作匀速运动在垂直磁场的平面内作匀速圆周运动即电子在实空间做螺旋运动。§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第8页Page82、对于布洛赫电子，等能面不一定是球面，轨道不一定为圆形角频率：meBT2m--回旋有效质量周期：BevFFmdtdv1电子速度在垂直于磁场方向的分量。vBkevdtdkhvdkeBdtdkdkdtTconstEconstEconstE)(2对布洛赫电子，尽管kz固定，但vz未必一定不变，运动不一定是匀速的。§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第9页Page9二、恒定磁场中自由电子的量子理论迪.哈斯-范耳芬效应在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为：22222mmpH有磁场时，自由电子的哈密顿量为：221eApmHA为矢势，均匀磁场沿z轴方向，即BB,0,0AB则，可取0,,0BxA22221zyxpeBxppmH薛定谔方程：)()(21222rErpeBxppmzyx1、磁场作用下晶体自由电子运动的量子化求解薛定谔方程：§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第10页Page10czznmkkE212)(22meBcnLkz2回旋频率n为整数与自由电子能量比较：mkmkmkkEzyx222)(222222施加沿z轴的磁场后，沿z轴电子仍保持自由运动，能量为mkz222在垂直于磁场方向，电子的运动是量子化的，当n一定，电子的能带是一抛物线，n＝0是最低的次能带，n增加，次能带向上移。根据量子理论，电子在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的。将这种量子化的能级称为朗道能级得到mkmkyx222222变为一系列一维子能带cn21从原来准连续的能带§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第11页第12页Page12在与磁场垂直的kz=常数的平面内，轨道是量子化的，沿磁场方向的kz取值是准连续的。确定。这样，在k空间中，许可态的代表点将简并到朗道管上，其截面为朗道环。在k空间形成一系列“圆柱面”，每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，可以看成是一个子带。每个“圆柱面”上的能量由czznmkkE212)(22n=0,1,2,3,4磁场中三维自由电子气在k空间形成子带自由电子气在磁场中的能带zk空态占有态FEE§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第13页Page13注意：无磁场时，能态在k空间是均匀分布的当磁场存在时，能态就聚集在平行于B的同心圆柱面上。自由电子气准连续的能谱在垂直磁场下聚集成间隔为hω0的分立能级。这种改变是量子态的改变，但量子态的总数应当不变。当量子数n取不同值时，每个圆柱面与自由电子费密面（B=0）的交线代表能量为EF的量子化轨道，每个量子化轨道是高度简并的。每个朗道能级所包含量子态的总数等于原来连续能谱中能量间隔hω0内的量子态数目，即朗道能级的简并度。磁场的作用使自由电子费密面量子化为许多能量为EF的等能线。§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第14页Page14n=0,1,2,3,4czznmkkE212)(22§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第15页Page152、晶体中电子的有效质量近似晶体中电子在磁场中运动时，其哈密顿量为)(212rUeApmHU(r)是晶格周期势，严格求解晶体中的电子在磁场中的运动是非常困难的。但在有些情况下，可将哈密顿量近似写成221eApmH即将周期场的影响概括为有效质量的变化，称为有效质量近似。一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）有时也可以采用。在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的讨论可以推广到晶体中的电子，只需用有效质量m*代替自由电子的质量m即可。第16页Page16K空间中，许可态的代表点简并到朗道管上，截面称为朗道环。2222222)21(22yxxycyxkkknmkmkeBmkkAcyx222223、磁场作用下的简并度、能态密度圆面积为：cxynmkA)21(22相邻朗道环间的面积：§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量当kz一定，计算相邻两个朗道环间的面积：meBc第17页Page17每个朗道环的简并度：2222224BLeLmLApc自由电子气在磁场中形成一系列高度简并的分立能级（朗道能级），而朗道能级简并度随磁场强度变化，使得电子气系统的能量随磁场强度变化而变化。计入自旋，得到朗道能级的简并度为22LeBLmpc第18页Page18再考虑到在dkz范围内kz有zdkL2不同的值，可以得到在kz标度下第n个次能带波矢在dkz范围内的状态数：zczzzzdkeBVdkLeBdkLpdkknZ222),(3n=0,1,2,3,4§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量将dE取代dkz,因为：dEnEmmdknEmknmkkEczczczz21222222212212212)(第19页Page19能量在E-E+dE间的第n个次能带的量子态数：dEnEmVdEnEZccc2123222128),(§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量由于能量等于E的电子可以处于不同的次能带，所以总的态密度必须对E之下所有次能带求和，得到dEnEZdEENln0),()(n=0,1,2,3,4磁场中三维自由电子气在k空间形成子带自由电子气在磁场中的能带zk空态占有态FEE第20页Page20态密度随E的变化关系如图：在磁场中，态密度曲线在能量为cn21出现一系列峰值，相邻峰值间能量差为meBc显然，加入磁场B后态密度的变化将会使电子系统的能量增加N(E)N0(E)态密度的这种特点深刻地影响了金属的物理性质。§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量当改变磁场B时，将发生变化，态密度峰值能量位置也发生变化，meBc每当峰值位置与费米能重合时，能量增量最大。lncccdEnEmVdEEN2123222128)(第21页Page21例如：系统的费密能级20FE则只需4个峰的状态就足够容纳全部电子；48cehmB如图所示条件：5c图中五个峰都被电子占据，若增大磁场而达到继续增大磁场6c则容纳全部电子只需3个峰的状态；420FE§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第22页Page22这是由于磁场增大时，每个峰内包含的状态增多，所以可以容纳更多的电子§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第23页Page234、磁化率振荡的原因以二维电子气系统为例，定性讨论在磁场中电子气系统能量随磁场强度B的变化0FE0FE0FE0FE0BB0BB0BB0BB1BB2BB3BB4BBn1n在不同磁场强度下二维电子的朗道能级的变化当B=0时，自由电子按准连续的能级填充到费密能级。当B=B1时，二维电子的准连续能级变成完全分立的朗道能级。假设这时二维电子正好填满n个朗道能级，每个能级上容纳电子数为(简并度)yxLLeB§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第24页Page24随磁场B的增加，朗道轨道间的距离因而各个朗道能级也向上移动。与此同时，各个朗道能级的简并度也不断增加：因此能被填满的朗道能级数将随磁场强度B的增加而减少。磁场强度B增加费密能以下的朗道能级数减少简并度增加第n个能级上被电子占据的几率减小yxLLeBmeB0FE0FE0FE0FE0BB0BB0BB0BB1BB2BB3BB4BBn1n在不同磁场强度下二维电子的朗道能级的变化meB§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第25页Page25磁场B增加到B2时：第n朗道能级只填了一半。第n朗道能级只填了一小部分。0FE0FE0FE0FE0BB0BB0BB0BB1BB2BB3BB4BBn1n在不同磁场强度下二维电子的朗道能级的变化meB磁场B增加到B3时：磁场B增加到B4时：第n-1朗道能级被电子填满，第n朗道能级是完全空的。§5.10磁场作用下的电子能态费密面的测量第26页Page26朗道能级被电