高中数学极坐标与参数方程知识点

1极坐标与参数方程知识点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即)()(tfytfx并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：sincos00tyytxx（t为参数）其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．○1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝ABtt＝BAABtttt4)(2．○2．线段AB的中点所对应的参数值等于2BAtt．2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：sincos00ryyrxx（为参数）3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：sincosbyax（为参数）（或sincosaybx）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）(.sin,cos00byyaxx4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：2tgsecbyax（为参数）（或ecaybxstg）5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：ptyptx222（t为参数，p＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是sincos00tyytxx（t为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋k2)或（，＋)12(k），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0≤＜2或0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：⑴0⑵cosa⑶cosa⑷sina⑸sina⑹)cos(axMO图134、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(a：⑴a⑵cos2a⑶cos2a⑷sin2a⑸sin2a⑹)cos(2a00xOM图1（，）cosaaOM图2cosaaOM图3sinaOM图4asinaOM图5a),(a)cos(aOMpN图6（，）acos2aaxOM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2aaxOM图645、极坐标与直角坐标互化公式：cosxsiny222yx)0(tanxxyyyxOMHN(,)（直极互化图）