导数的概念

导数的概念导数的概念一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数学表达式结构是一样的,即计算极限,这就是我们要学习的导数的定义.xyx0lim定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果当Δx0时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作即:,|)(00xxyxf或.)()(limlim)(00000xxfxxfxyxfxx如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.是函数f(x)在以x0与x0+Δx为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．xxfxxfxy)()(00如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数f(x)在点x0处不可导.000)()(lim)(0xxxfxfxfxx下式表示：事实上，导数也可以用由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:);()()1(00xfxxfy求函数的增量;)()()2(00xxfxxfxy求平均变化率.lim)()3(00xyxfx取极限，得导数注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.例1:(1)求函数y=x2在x=2处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=4处的导数.,)(42)2()1(222xxxy解：,4)(42xxxxxy.4|,4)4(limlim200xxxyxxy,)4(4)414(41)4()2(xxxxxy,)4(411)4(4xxxxxxy.1615|,16151611])4(411[limlim400xxxyxxy如果函数y＝f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导.这时,对每一个x(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f(x)在区间(a,b)内的导函数,记作,即:)()(xyyxf必要时记作或xxfxxfxyyxfxx)()(limlim)(00在不致发生混淆时，导函数也简称导数．.)()(),()()()(,),(0000函数值处的在点数函内的导在开区间等于函数处的导数在点函数时当xxfbaxfxfxxfybax如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在点x0处连续．求函数y=f(x)的导数可分如下三步:);()()1(xfxxfy求函数的增量;)()(:)2(xxfxxfxy的增量的比值求函数的增量与自变量.lim)()3(0xyxfyx求极限，得导函数.1yxy，求：已知例,xxxy解：,xxxxxxy.211limlimlim000xxxxxxxxxyyxxx4.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.)(0xf故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy例2:如图,已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)9,3(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0..,21|',:2000的值求且处附近有定义在已知函数例xyxxxyxx,:00xxxy解.1)())((0000000000xxxxxxxxxxxxxxxxxxy,211limlim00000xxxxxyxx.1,2121,21|'000xxyxx得由.)0(||2的导数数：利用导数的定义求函例xxy;1lim,1)(,,0|,|0xyxxxxxyxyxxyx则时当解：;1lim,1)()(,,00xyxxxxxyxyxx时当.0101xxy6.小结a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。)(xf例1:判断下列各命题的真假:(1)已知函数y=f(x)的图象上的点列P1,P2,P3,…Pn…,则过P0与Pn两点的直线的斜率就是函数在点P0处的导数.,,0PPnn时当答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f(x)的图象)的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一个假命题.(2)若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻t0的瞬时速度V等于.|)(0tttf答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真命题.(3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一只要函数在x0处连续,则就必存在.,0Ax)(0xf5.例题选讲答:它是一个假命题.例如,函数在x=0处连续,但它在x=0处的导数不存在.3xy(4)设是函数y=f(x)的图象上的三点,且函数在P1,P2,P3三点处的导数均存在.若,则必有))(,(),,(),,(321333222111xxxyxPyxPyxP其中)()(31xfxf)(2xf)).(),((31xfxf答:,由于f(x)的导函数未必是单调增函数.因此,不一定成立,例如f(x)=x3,则显然有故是假命题.时且当)()(21321xfxfxxx)(xf))(),(()(312xfxfxf,3)(2xxf)1(f)).2(),1(()0(),2(ffff但说明:要正确判断命题的真假,需真正理解:曲线在点P处切线的斜率、瞬时速度、连续与可导等概念,还要把握好要确定一个命题为真命题,则需给出论证,而要给出否定的结论,举一个反例就足够了.例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:.2)()(lim)2(;)()(lim)1(000000hhxfhxfxxfxxfhx分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.);()()(lim)()()(lim)1(0'000000xfxxfxxfxxfxxfxx原式解：).(')](')('[21])()(lim)()(lim[212)]()([)()(lim)2(00000000000000xfxfxfhxfhxfhxfhxfhxfhxfxfhxfhhh原式例3:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数;(2)可导的奇函数的导函数为偶函数.证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).).()()(lim,)(0xfxxfxxfxfyx可导函数).()()(lim)()(lim)()(lim)(000xfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxfxxx.)(立是奇函数，从而命题成xf(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练习用.练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:xxftxxfxxfxmxfxx)()(lim)2(;)()(lim)1(000000).(1)2();()1(00xftxfm答案：练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和.)()(lim)(axaxfxafafax表示).()()()()(lim)()()]()([lim)()(lim:afafaafaxafxfaaxafaxafxfaaxaxfxafaxaxax解例4:判断函数y=|3x-1|在x=1/3处是否可导.;)31(31)31(13|13|xxxxxy解：;3)1313(]1)31(3[limlim00xxxyxx;3)3131()]31(31[limlim00xxxyxx.lim,limlim000不存在xyxyxyxxx从而函数y=|3x-1|在x=1/3处不可导.注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子.练习3:函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由.0)(0)()()0()0(,)0()0()(:2222xxxxxxxffxfyxxxxxxxf故有显然解,1)1(limlim00xxyxx.1)1(limlim00xxyxx.,0,limlim00无极限时xyxxyxyxx故函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.（3）如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说函数y＝f(x)在开区间(a,b)内可导，这时，对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间(a,b)内可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。)(0xf（4）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxfd.函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导。如函数在x=0处有切线，但不可导。xxf)(e.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfyf.无限逼近的极限思想是建立导