2016届高考数学(理)一轮复习学案：5.3+平面向量的数量积(苏教版含解析)资料

版权所有：中华资源库§5.3平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝a·a；(4)cosθ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离AB＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)版权所有：中华资源库(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)△ABC内有一点O，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，且OA→·OB→＝OB→·OC→，则△ABC一定是等腰三角形．(√)(4)在四边形ABCD中，AB→＝DC→且AC→·BD→＝0，则四边形ABCD为矩形．(×)(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．(×)(6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ－43或λ0.(×)1．(2014·重庆改编)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝.答案3解析因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.2．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角＝.答案30°解析设向量a与向量a＋2b的夹角为θ.∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，∴|a＋2b|＝23，a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ＝2×23cosθ＝43cosθ，又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，∴43cosθ＝6，cosθ＝32，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.3．在等腰△ABC中，底边BC＝4，则AB→·BC→＝.答案－8解析取BC的中点为D，连结AD，因为△ABC是等腰三角形，BC是底边，所以AD⊥BC，又BC＝4，则AB→·BC→＝(AD→＋DB→)·BC→＝AD→·BC→＋DB→·BC→＝0－2×4＝－8.4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)的值为．版权所有：中华资源库答案－4解析由题意得，AP＝2，PM＝1，所以PA→·(PB→＋PC→)＝PA→·2PM→＝2×2×1×cos180°＝－4.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2013·湖北改编)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为．(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为；DE→·DC→的最大值为．答案(1)322(2)11解析(1)AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，∴AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，∴DE→·CB→＝|CB→|·1＝1，当E运动到B点时，DE→在DC→方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.思维升华求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件．版权所有：中华资源库(1)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则x1＋y1x2＋y2的值为．(2)在△ABC中，若A＝120°，AB→·AC→＝－1，则|BC→|的最小值是．答案(1)－23(2)6解析(1)由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0,0)，得x1＝－23x2，y1＝－23y2，故x1＋y1x2＋y2＝－23.(2)∵AB→·AC→＝－1，∴|AB→|·|AC→|·cos120°＝－1，即|AB→|·|AC→|＝2，∴|BC→|2＝|AC→－AB→|2＝AC→2－2AB→·AC→＋AB→2≥2|AB→|·|AC→|－2AB→·AC→＝6，∴|BC→|min＝6.题型二求向量的模与夹角例2(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于π3，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值为．(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝.(3)(2013·山东)已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为．答案(1)－126(2)32(3)712解析(1)记向量2a－b与a＋2b的夹角为θ，又(2a－b)2＝4×22＋32－4×2×3×cosπ3＝13，(a＋2b)2＝22＋4×32＋4×2×3×cosπ3＝52，(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝8－18＋9＝－1，故cosθ＝a－ba＋2b|2a－b|·|a＋2b|＝－126，版权所有：中华资源库－b与a＋2b的夹角的余弦值是－126.(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝22|b|，|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.(3)由AP→⊥BC→知AP→·BC→＝0，即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝(λ－1)AB→·AC→－λAB→2＋AC→2＝(λ－1)×3×2×－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.思维升华(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的．(1)(2013·天津)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC→·BE→＝1，则AB的长为．(2)(2014·江西)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝.答案(1)12(2)223解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE→＝FD→，∴BE→＝FD→＝AD→－12AB→，又AC→＝AD→＋AB→，∴AC→·BE→＝(AD→＋AB→)·(AD→－12AB→)＝AD→2－12AD→·AB→＋AD→·AB→－12AB→2＝|AD→|2＋12|AD→||AB→|cos60°－12|AB→|2＝1＋12×12|AB→|－12|AB→|2＝1.版权所有：中华资源库∴12－|AB→||AB→|＝0，又|AB→|≠0，∴|AB→|＝12.(2)∵|a|＝e1－2e22＝9＋4－12×1×1×13＝3，|b|＝e1－e22＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e21－9e1·e2＋2e22＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cosβ＝83×22＝223.题型三数量积的综合应用例3已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．思维点拨(1)由m∥n可得△ABC的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由m⊥p得a、b关系，再利用余弦定理得ab，代入面积公式．(1)证明∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝3.思维升华解决以向量为载体考查三角形问题时，正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法．已知向量m＝(2sin(ωx＋π3)，1)，n＝(2cosωx，－3)(ω0)，函数f(x)版权所有：中华资源库＝m·n的两条相邻对称轴间的距离为π2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[－5π6，π12]时，求f(x)的值域．解(1)f(x)＝m·n＝4sin(ωx＋π3)cosωx－3＝2sinωxcosωx＋23cos2ωx－3＝sin2ωx＋3cos2ωx＝2sin(2ωx＋π3)．因为T＝2π2ω＝π，所以ω＝1.所以f(x)＝2sin(2x＋π3)．由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ－5π12，kπ＋π12](k∈Z)．(2)因为x∈[－5π6，π12]，所以2x＋π3∈[－4π3，π2]．所以sin(2x＋π3)∈[－1,1]．所以f(x)∈[－2,2]，即f(x)的值域是[－2,2]．高考中以向量为背景的创新题典例：(1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(π4，π2)，且a∘b和b∘a都在集合{n2|n∈Z}中，则a∘b＝.思维点拨先根据定义表示出a∘b和b∘a，利用其属于集合{n2|n∈Z}，将其表示成集合中版权所有：中华资源库元素的形式，两式相乘即可表示出cosθ，然后利用θ∈(π4，π2)确定cosθ的取值范围，结合集合中n∈Z的限制条件即可确定n的值，从而求出a∘b的值．解析根据新