赵甫——概率与统计(文科)

概率与统计重点知识回顾第一讲随机抽样第二讲概率计算——古典与几何概型第三讲统计——用样本估计总体第四讲统计案例——回归分析与独立性检验第五讲新课标高考真题选讲高三数学组:赵甫 一、统计1.抽样方法包括:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法.2.频率分布直方图中,纵轴表示频率/组距,数据落在各个小组内的频率用小矩形的面积表示,各小矩形的面积和等于1.3.众数、平均数、中位数是描述数据的集中趋势的量,方差、标准差则是描述数据的波动大小.其中,方差的计算公式为s2=[(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2].1nxxx为茎,个位数字作为叶,如数据为三位数,则把十位和百位数字合在一起作为茎,个位数字作为叶.二、概率1.在古典概型中,事件A的概率公式P(A)= .2.在几何概型中,事件A的概率公式P(A)= ,其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA表示区域A的几何度量.A包含的基本事件的个数基本事件的总数AΩμμ4.茎叶图通常用来记录两位数的数据,把两位数的十位数字作3.不可能同时发生的事件叫做互斥事件,若事件A和B为互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B),这个公式推广到n个互斥事件时也成立.(P(A∪B)也可记为P(A+B))三、统计案例1.回归分析(1)回归直线方程: = x+ (也可写成 =bx+a或y=bx+a)一定过样本点中心( , ).y＾b＾a＾y＾xy(2)样本相关系数r当r0时,表明两变量正相关;当r0时,表明两变量负相关.|r|越接近1,表明两变量的线性相关性越强;|r|越接近0,表明两变量的线性相关关系越弱.2.独立性检验当根据具体的数据算出的K2≥3.841时,有95%的把握说事件A与B有关;当K2≥6.635时,有99%的把握说事件A与B有关.考点一简单随机抽样(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)抽取方式：逐个不放回抽取；(2)每个个体被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽签法和随机数法．[提醒]简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．第一讲随机抽样1．(2015·广东七校联考)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是______．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)87421753315724550688770474476721763350258392120676,63016378591695566719981050717512867358074439523879,33211234297864560782524207443815510013429966027954解析：由随机数表，可以看出前4个样本的个体的编号是331,572,455,068.于是，第4个样本个体的编号是068.0682．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08B．07C．02D．01解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的数字为08,02,14,07,01，…，故选出的第5个个体的编号为01.答案：D考点二系统抽样(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体编号；(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn；(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．[提醒]系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当Nn不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．[典题例析](2014·广东高考)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50B．40C．25D．20解析：由100040＝25，可得分段的间隔为25.故选C.2．(人教B版教材习题改编)某工厂平均每天生产某种机器零件大约10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为________．04103．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是____．5考点三分层抽样的交汇命题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识](1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．[提醒]分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即样本容量n总体个数N.[多角探明]分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向．这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误.常见的命题角度有：(1)与频率分布相结合问题；(2)与概率相结合问题.角度一：与频率分布相结合问题1．(2014·广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．100,10B．200,10C．100,20D．200,20解析：易知(3500＋4500＋2000)×2%＝200，即样本容量；抽取的高中生人数为2000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.答案：D2．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y角度二：与概率相结合问题(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴3050＝m5，解得m＝3.(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x，y的值．抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为710.(2)由题意，得10N＝539，解得N＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，∴4880＋x＝2050＝1020＋y，解得x＝40，y＝5.即x，y的值分别为40,5.[类题通法]进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)样本容量n总体的个数N＝该层抽取的个体数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比. 概率知识的考查是近几年新课改后高考命题的一大热点,高考每年在选择、填空或解答题中都有所体现,由于文科数学后续课程不再学习概率,文科数学将重点考查概率的意义、古典概型与几何概型的掌握和运用.在处理概率问题时主要有两种思路:正向思路和逆向思路.正向思考可对复杂问题进行分解;逆向思考常使一些复杂问题得到简化.要学会将实际问题转化为古典概型和几何概型来解决.第二讲概率——古典概型与几何概型1．(2012年安徽)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()A.15B.25C.35D.45古典概型解析：将同色小球编号．从袋中任取两球，所有基本事件为：(红，白1)，(红，白2)，(红，黑1)，(红，黑2)，(红，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15个基本事件，而一白一黑的共有6个基本事件，P＝615＝25.故选B.答案：B2．(2012年杭州一检)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．解析：从6个数中任取2个数的可能情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是25.答案：253．(2013届安徽省示范高中高三9月摸底考试)从集合{－1,1,2,3}中随机选取一个数记为m，从集合{－1,1,2}中随机选取一个数记为n，则方程x2m＋y2n＝1表示双曲线的概率为____．解析：由题意知基本事件总数为12，表示双曲线的要求为mn0，当m＝－1时，n＝1、2；当n＝－1时，m＝1、2、3，故表示双曲线的概率为512.答案：5121、若不等式组 所表示的平面区域为M,x2+y2≤1所表示的平面区域为N,现随机向区域M内抛一粒豆子,则豆子落在区域N内的概率为.,,240yxyxxy【分析】(1)由频率概念可得.(2)可从对立事件考虑.(3)作出区域,转化为几何概型.【解析】(1)不同试验次数相应出现的“正面向上”的频率在一个值附近波动.这个频率值可近似为概率,故P≈0.7.(2)从3个红球、2个白球中任取3个,根据穷举法,可以得到10个基本事件,其中没有白球的取法只有一种,因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P=1- = .故选D.110910几何概型【答案】(1)0.7(2)D(3)  (1)频率在某个固定值左右波动,这个值才是概率,不能随便将一频率值作为概率,但是随着试验次数的增加,频率值会越来越接近于概率.1、如图,△OAB即为可行域M.图中的阴影区域即所求豆子要落的区域.阴影区域的面积为 π,且S△OAB= ,故所求概率为P= = .1416314163364364(2)在解决概率问题时,要注意“正难则反”的思想.(3)几何概型的关键是用长度(或面积、体积)来度量试验结果. 1．在区间[0,3]上任投一点，则此点坐标大于2的概率为()A.12B.13C.14D．1解析：试验的全部结果构成的区域长度为3，所求事件的区域长度为1，故所求概率为P＝13.答案：B2．