23常用的离散分布

§2.3常用的离散型分布一、退化分布如果随机变量X则称随机变量X服从处的退化分布.*a即此时0DXaEXPXa1~Xa1二、两点分布如果随机变量X只取两个值其中则称X服从参数为p的两点分布.01p12,xx12~xxX1pp当时，即为0—1分布.此时p11,x20x10~X1ppEXDX)1(pp三、离散均匀分布~X12...nxxx111...nnnEX11xn21xn1...nxn1n12...nxxxxDXE2XEX2EXx21()1xnx22()1xnx2.(1..)nxxn,,nn独立重复进行次伯努利试验（称为重伯努利试验）(01),App如果在一次贝努利试验中发生的概率为四、二项分布1.二项分布的概念模型:n重贝努利概型用表示Xn重贝努里试验中事件A(成功)出现的可能取值:X次数,0,1,2,3,...,nmnmmnqpCmXP}{nm,...,2,1,0正好是二项式展开式的通项.1npp,0,1,2,,.011XX~(,)mmnmnPXmCpqmnBnp其中＜ｐ＜，ｑ＝－ｐ，则称服从参数为ｎ，ｐ的二项分布.记为如果随机变量X的概率分布为2.二项分布的定义1,n特殊情况：时qXP0pXP1分布10~X二项分布问题的特征:（1）一个试验(只有两个结果)独立地重复进行n次,在具体问题中,往往表现为n个彼此独立的对象;（2）每次试验,只关心事件A是否出现;（3）求P{事件A发生次数m}.例1.设某车间有10台同型车床.如果每台车床的工作情况是彼此独立的，且每台车床平均每小时开动12分钟.令X表示该车间任一时刻处在工作状态的车床数，试求X的概率分布.2.06012所以X~b（10,0.2），其概率分布为10100.210.20,1,2,,10kkkPXkCk我们只关心事件A＝“机床处于工作状态”由题意，P（A）＝解：这里有10个独立的对象----10台同型机床X--该车间任一时刻处在工作状态的车床数例2.某车间有5台某型号的机床,每台机床由于种种原因,时常需要停车.设各台机床停车或开车是相互独立的.若每台机床在任一时刻处于停车状态的概率为1/3.试求在任一时刻，（1）恰有一台机床处于停车状态的概率；（2）至少有一台处于停车状态的概率；（3）至多有一台机床处于停车状态的概率.解：在任一时刻对5台机床的观察相当于进行5重伯努利试验.设X---5台机床中停车的台数Xb（5,1/3）11XP41153/23/1C3292.012XP01XP50053/23/11C8683.013XP10XPXP4609.0解EXpnDXqnp可以证明，二项分布的数学期望和方差分别为4.2EXpn6DXqnp6q4.20.31pq200.7q6np例已知随机变量求5PX6EX4.2DX~(,)Xbnp~Xb0.320,5PX15PX14PX1PX2PX3PX4PX0PX110i420iC0.3i200.7i401iPXi~[0.5,0.5]XU设表示一个加数的取整误差X解10.50.5)(xfy的概率为:每个加数的绝对误差小于0.30.30.3P0.3XP0.30.3X()Xfxdx0.30.31dx0.6设为n个加数中Y绝对误差小于0.3的个数.Y的可能取值为0,1,2,...,n在四舍五入时,今有n个加数,每个加数的取整误差服从[0.5,0.5]上的均匀分布,计算它们中绝对误差小于的概率.0.3例至少有3个的1)n个加数2)每个加数的绝对误差或者小于0.30.3或者3)每个加数的绝对误差小于的概率都是0.30.64)各加数的绝对误差是否小于0.3互不影响.至少有3个加数的绝对误差小于的概率为:0.3~()Yb,n0.6设为n个加数中Y绝对误差小于0.3的个数.P3Y0PY1P3Y11PY2PY10.4n10.61nC10.4n20.62nC20.4n~[0.5,0.5]XU设表示一个加数的取整误差XP0.3X0.30.3()Xfxdx0.30.31dx0.6:,,,),10(,的分布则表示试验的次数用随机变量首次发生为止直至不断进行重复试验发生的概率为事件在独立重复试验中XXAppA.p称X为参数为的几何分布11nnnpqEX1pppqpqnEXnn1221122222pqEXEXDX例2.19几何分布的无记忆性五、几何分布1kPXkpq1,2,3k123......XnPppq2pq1npq......其中qp1几何分布：p01,ppqpq2npq1......q1p111nnxn2)1(1xx1时，q21(1)nxxxx23(......)np1nnq1p1n()nx'nnx1''x1x'p21p1pEXp1n1nnpq1EX123......XnPppq2pq1npq......其中1qp01,p1EXp1n2n1npqEX21np2n1nq121nnxn时，1x1n()nnx'1nnnx'x11nnxn'x2(1)x'31(1)xxp3(1)q1qp3p1q2p1qDX2EX2()EX21pq21ppq2说明例设X服从几何分布则对任何两个正整数mn有P{Xmn|Xm}P{Xn}证明同理有于是得P{Xn}qnP{Xmn}qmn}{}|{nXPqqqmXnmXPnmnm通常称为几何分布的无记忆性意指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了mjjmkmkqpqqpqmXP1111}{由}{}{}|{mXPnmXPmXnmXP六、超几何分布定义对给定的自然数nNN12,,以及NNN12共12NNN个个k1N2N个nkn个如果PXknNCkNC1nNkC2kn0,1,2,...,则称服从X超几何分布.nNN12这里约定,ab当时,0abCEXNnN1可以证明,超几何分布的数学期望和方差分别为NnN1DXNN2NnN1(1)无返回(2)有返回kNN12)每次或取到红球或取到黑球.3)每次取到红球的概率都是4)各次摸取互不影响NN1PXk12nNNC1kNC2kNnCkn0,1,2,...,服从超几何分布.X1)次摸取n服从二项分布.XPXknkNN2knC故1N2N共12NNN个个黑球,N2设袋中有个红球,N1从中取n次,每次取一个球,表示取到的红球个数.XnN1nN2，当N很大时,无返回接近于有返回,超几何分布接近于二项分布.kn0,1,2,...,1N2N共12NNN个(1)无返回PXk12nNNC1kNC2kNnCkn0,1,2,...,(2)有返回1kNNPXk2nkNNknCkn0,1,2,...,其中PXk12nNNC1kNC2kNnCkpnkqknCqp1当很大时,N无返回接近于有返回,故超几何分布接近于二项分布.时pNN1对于固定的n,N,当N1,N2,且NC10例一大批种子的发芽率为90%从中任取10粒,求播种后(1)恰有8粒发芽的概率;(2)不少于8粒发芽的概率.解设10粒种子中有粒种子发芽.X(1)8PXNC0.98NC0.1280.920.1C810(2)8PX8PX9PX10PXNC10NC0.12NC0.98NC10NC0.11NC0.99NC10NC0.10NC0.910C1010C91080.920.1C81090.910.1100.900.1七、泊松分布e1!1e....01.2.kXP...!kek...2!2e定义且取这些值的概率为其中~()XP为常数,则称服从X参数为λ的记为设随机变量可能取的值为X!kek0,1,2,...,,...k0,1,2,...,,...kPXk0,分布,泊松~()XP满足归一性.e1!1e....01.2.kXP...!kek...2!2e由xe21......2!!nxxxnx0nPXne1!1e2.2..!e...!nnee11!12.2..!...!nn1ee泊松分布的数学期望与方差分别为EXDX泊松分布：1e2!21..!(.)n1n...EX...1!1e2!22e3!33e...!nenne1!1e......2!2e用同样的方法可求得2EX2DX2EX2()EX22ee....01.2.nXP!nen解设任一页上X有个印刷错误.PXmmem!m0,1,2,3,...PX1PX2总页数有一个印刷错误的页数总页数有两个印刷错误的页数PX20PX任取4页,设表示iA“第页上i无印刷错误”PAAAA12341234()()()()PAPAPAPA为一页上无印刷错误的概率.8e例书籍中每页的印刷错误服从泊松分布,个印刷错误的页数与有两个印刷错误的页数求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.有一相同,PX11!1e22!e22e00!e()iPA2e定理2.4(泊松定理)在重贝努利试验中,n事件A在每次试验中发生的概率为np（与试验的次数n有关）如果n时，nnp（λ0，为常数)则对任意k0,1,2,...,n，有;,nbknplimnlimn!kekknp(1)nnkpknC即()knp!kek()npekp(1)knpPXkknC!k说明:参数为若充分大,n充分小,p则X近似服从的泊松分布.np~(,)Xbnp，1)2500个人2)每个人或死亡或不死亡3)每人死亡的概率都是4)是否死亡互不影响保险公司获利10X即100kXkP(np100k0.0067380.0181330.033690...解0.002~XB0.0022500,1225002000X1000010PX!k5k5e5)0.9836某地有2500人参加保险,每人年初向保险公司交付保险费12元,若在这一年内死亡,则保险公司赔付其家属2000元.设该地人口的死亡率为2‰,求获利不少于10000元的概率.例保险公司设投保人中死亡的人数为X1)300台设备2)每台或发生故障3)每台设备发生故障4)是否发生故障独立(np为保证设备正常工作,求至少需要配备多少工人,需配备适量的维修工人*.现有同类型设备300台,各台工作相互独立,