23数学归纳法(3课时)

2.3.1数学归纳法数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。201234221351725765537...21nnnnaaaaaaaN中，，，，，结论：是质数(n)问题情境一:费马(1601—1665)：17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马。费马在丢番图著书的边缘，写下一条注记：“当n2时，xn+yn＝zn没有正整数解，但是边缘太窄写不下我的简单的证明。”费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向；他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.归纳法:（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（2）不完全归纳法:考察部分对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法优点：考查全面，结论正确;缺点：工作量大，有些对象无法全面考查.优点：考查对象少，得出结论快;缺点：观察片面化，结论不一定正确.思考1:某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？（1）始祖姓王；（2）子随父姓.（第1代姓王）（如果第k代姓王，则第k+1代也姓王）思考2：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）⑴第一块骨牌倒下；⑵任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下两个条件的作用：条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系已知数列{an}的第一项a1=1,且(n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa由此猜想:1(N).nann思考？证明:(1)当n=1时,猜想成立.(2)假设n=k时,猜想成立.即那么,当n=k+1时即当n=k+1时猜想也成立.1111a1(N).kakk11kkkaaa111kk1.1k所以对任何nN*猜想都成立,即1(N).nann对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1.证明当n取第一个值n0时命题成立；2.假设当n=k(k≥n0,kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.数学归纳法这种证明方法就叫做______________.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立,如下证明对吗？2135(21),kk则[2(1)1]135(21)[12(1)1](1)2kkkk第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明.证明:①当n=1时,左边＝1，右边＝12＝1∴n=1时,命题成立.②设n=k时,有即n=k+1时，命题成立.2(1).k根据①②问可知，对n∈N*，等式成立.证明:1+3+5+…+(2n1)=n2.数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）验证当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件（2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确；假设推理（3）由（1）、（2）得出结论.点题找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k＋1中间的变化。注2222(1)(21)123(N).6nnnnn1(11)(21)1.6右边2(1)(21)()61kkkk2(1)(21)6(1)6kkkk2222(1)(21)3612,kkkk例1.用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时,左=12=1，∴n=1时,等式成立.(2)假设n=k时,等式成立，即那么,当n=k+1时左边=12+22+…+k2+(k+1)2=即当n=k+1时命题也成立.由(1)和(2),可知原命题对任何nN*都成立.(1)(2)(23),6kkk2311111().222221变练习1：求证：＋＋＋nn式证明:①当n=1时,左边＝1,2右边＝1111().22②假设当n=k时,命题成立，即12311111(),22222kk++++那么,当n=k+1时,有1312111222212kk++＋＋∴n=1时等式成立.即当n=k+1时命题也成立.由(1)和(2),可知原命题对任何nN*都成立.1111()22kk111().2k练习2：（1）用数学归纳法证:;)1(21)(kA;221121)(kkB;11221)(kkC.11221121)(kkkD2413212111nnn(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（）2(kkn1kn2kn22kn)2(2knB．时等式成立)214121(2114131211nnnn2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题真，则还需要用归纳假设再证（）A．时等式成立C．时等式成立D．时等式成立2.3.2数学归纳法数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）验证当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件（2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确；假设推理（3）由（1）、（2）得出结论.点题找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整一、复习引入：1、数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷.数学归纳法的核心思想例1、是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.2)12)(12(5323112222bnnannnn解:令n=1,2,并整理得.41{,231013{bababa以下用数学归纳法证明:).(24)12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.(1)数学归纳法证明等式问题：二、数学归纳法应用举例：(2)假设当n=k时结论正确,即:.24)12)(12(5323112222kkkkkk则当n=k+1时,2222222222(1)(21)(23)(1)(1)(23)2(1)(21)(23)2(121335(21)(21)(23)(1)(2322)(1)(21)(2)2(21)(23)2(21)(23)32(1)(1)46421()42kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.1)2故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且用数学归纳法证明:.12nnnaaS.1nnan证:(1)当n=1时,n=1,结论成立.111,11)1(211211111aaaaSa(2)假设当n=k时,结论成立,即.1kkak则当n=k+1时,.)111(21)1(21kkkkkaaSkkk).0(1012)1(21111211111kkkkkkkkkakkaakakaaSSa故当n=k+1时,结论也成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.(2)数学归纳法证明整除问题：例1、用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立.(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,有kkkkyyxxyx22222222))(()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk都能被x+y整除.))(()(2222yxyxyyxxkkk、故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.例2、用数学归纳法证明:能被8整除.)(1325*1NnAnnn证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数.13251kkkA那么:)13(45)13(4)1325(5132511111kkkkkkkkAA因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n,An能被8整除.例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.证:(1)当n=1时,x3n-1+x3n-2+1=x2+x+1,从而命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被x2+x+1整除则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1)因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.即当n=k+1时,命题成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.例1、平面内有n(n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数为多少?并证明.)(nf2)1()(nnnf当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于一点，共增加k个点，由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,而f(2)=×2×(2-1)=1,∴命题成立。21∴k+1条直线交点个数=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),即当n=k+1时命题仍成立。212121212）假设n=k(k∈N,k≥2)时，k条直线交点个数为f(k)=k(k-1),21(3)数学归纳法证明几何问题：练习:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)=f(n)+_________.n-1(4)数学归纳法证明不等式问题：例1、用数学归纳法证明:).,2(2413212111*Nnnnnn证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.,241324144131221121(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:,2413212111kkk则当n=k+1时,我们有:)11221121(212111221121212)1(11)1(1kkkkkkkkkkk.2413)22)(12(12413)221121(2413kkkk即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.2,nNn例2、证明不等式:*11112().23nnNn证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,2131211kk则当n=k+1时,我们有:,11211131211kkkk