1第二章一元二次方程3.用公式法求解一元二次方程(一)一、学生知识状况分析学生的知识技能基础:学生通过前几节课的学习,认识了一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式;在上一节课的基础上,大部分学生能够利用配方法解一元二次方程,但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础:学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验;学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习,已经逐渐形成对于一些规律性的问题,用公式加以归纳总结的数学建模意识,并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化,然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法,在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式,最后,用公式法解一元二次方程。其中,引导学生自主的探索,正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一;正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程,提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。为此,本节课的教学目标是:①在教师的指导下,学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式,并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。②能够根据方程的系数,判断出方程的根的情况,在此过程中,培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力。④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流,2进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节:第一环节:回忆巩固;第二环节:探究新知;第三环节:巩固新知;第四环节:收获与感悟;第五环节:布置作业。第一环节;回忆巩固活动内容:①用配方法解下列方程:(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题:2x2+3=7x解:将方程化成一般形式:2x2-7x+3=0两边都除以一次项系数:2023272xx配方:加上再减去一次项系数一半的平方0231649)47(2722xx即:01625)47(2x1625)47(2x两边开平方取“±”得:4547x4547x写出方程的根∴x1=3,x2=21第二题:3x2+2x+1=0解:两边都除以一次项系数:3031322xx3配方:加上再减去一次项系数一半的平方02391)31(3222xx即:01825)31(2x1825)31(2x∵01825∴原方程无解活动目的:(1)进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动:没有把常数项移到方程右边,而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方,这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。(2)选择了一个没有解的方程,让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。(3)教师还可以根据上节课作业情况,选学生出错多的题目纠错、练习.活动的实际效果:通过对旧知识的回顾,学生再次经历了配方法解方程的全过程,由于是旧知识,学生容易做出正确答案,并获得成功的喜悦,调动了学生的学习热情,唤醒学生的思维,为后面的探索奠定了良好的基础。第二环节探究新知(1)活动1:自主推导求根公式。提出问题:解一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结,得出求根公式.解:两边都除以一次项系数:a02acxabx问:为什么可以两边都除以一次项系数:a答:因为a≠04配方:加上再减去一次项系数一半的平方04)2(2222acababxabx即:044)(222aacbabx22244)(aacbabx问:现在可以两边开平方吗?答:不可以,因为不能保证04422aacb问:什么情况下04422aacb学生讨论后回答:答:∵a≠0∴4a20要使04422aacb只要b2-4ac≥0即可∴当b2-4ac≥0时,两边开平方取“±”得:2244aacbabxaacbabx242aacbabx242aacbbx242问:如果b2-4ac0时,会出现什么问题?答:方程无解如果b2-4ac=0呢?答;方程有两个相等的实数根。活动目的:学生能否自主推导出来并不重要,重要的是由学生亲身经历公式的推导过程,只有经历了这一过程,他们才能发现问题、汲取教训、总结经验,形成自己的认识.在集体交流的时候,才能有感而发。活动的实际效果:学生的主要问题通常出现在这样的几个地方:5(1)04)2(2222acababxabx中acab224运算的符号出现错误和通分出现错误(2)不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时,两边才能开平方(3)两边开平方,忽略取“±”。大部分学生需要在教师的帮助下,才能完善公式的推导。(2)活动2:归纳总结公式法定义和根的判别式。第三环节:巩固新知活动内容:1、判断下列方程是否有解:(学生口答)(1)2x2+3=7x(2)x2-7x=18(3)3x2+2x+1=0(4)9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。问第(3)题的判断,与第一环节中的第(2)题对比,哪种方法更简捷?2、上述方程如果有解,求出方程的解学生口述,教师板书第(1)题,第(4)题例:解方程2x2+3=7x先将方程化成一般形式解:2x2-7x+3=0确定a,b,c的值a=2,b=-7,c=3判断方程是否有根∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=250∴45722257242aacbbx写出方程的根即x1=3,x2=-21问:与第一环节中的第(1)题对比,哪种解法更简捷?例:解方程9x2+6x+1=0确定a,b,c的值解:a=9,b=6,c=1判断方程是否有根∵b2-4ac=62-4×9×1=06∴3118069206242aacbbx(剩下的题目教师根据时间情况选择使用,个别学生上黑板做题,其他同学在座位上练习)3、课本随堂练习1、2.活动目的:通过让学生或口述交流或上黑板解方程,公示学生的思维过程,查缺补漏,了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。活动实际效果:教师引导学生分析,学生口答、板书,笔答,对比,评价,总结.大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。第四环节:收获与感悟活动内容:提出问题:1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?2、如何判断一元二次方程根的情况?3、用公式法解方程应注意的问题是什么?4、你在解方程的过程中有哪些小技巧?让学生在四人小组中进行回顾与反思后,进行组间交流发言。活动目的:鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获,解题技能方面有哪些提高,通过回顾进一步巩固知识,将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。活动实际效果:学生通过回顾本节课的学习,感受到公式推导的全过程,发展了逻辑思维能力,提高了推理技能,在使用公式解方程的过程中,感受到有的一元二次方程的有根,而有的没有根,通过解方程,进一步提高了学生的运算能力。第五环节:布置作业用公式法解下列方程(教师可根据实际情况选用)71、课本47页1,2题。2、程解应用题(1)已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?(2)一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽四、教学反思1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况,调整了配方时的个别过程,使之与后续知识学习相一致,添加了例题和练习题。2、要为学生的终身学习奠基这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程,而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识,亲身体会公式推导的全过程,提高学生推理技能和逻辑思维能力;进一步发展学生合作交流的意识和能力.帮助学生形成积极主动的求知态度.