244一元二次方程的应用

当x=10时，=12.5合题意；当x=25时，不合题意例1、如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为20m，另三边由一段长为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．分析：根据长方形面积公式，运用长×宽=125列出方程，即可求得答案．在方程中墙壁的长度30m没有直接用到，但在检验结果的时候，要注意矩形的平行于墙壁的一边长不能超过30m，否则，这堵墙就没有作为养鸡场的利用价值。根据题意，得解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则矩形的另一条边长为m．235x125235xx235x整理，得x2-35x+250=O．答：矩形空地的长和宽分别是12.5m和10m解这个方程，得x1=10，x2=25．（一）几何中面积、长度问题（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及题目要求什么；（3）设：是指设元，也就是设未知数；（4）列：就是列方程，根据等量关系式列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；列方程解应用题的步骤？（2）找：找等量关系式，即题目中给出的能够表达应用题全部含义的一个相等关系；（5）解：就是解方程，求出未知数的值；（6）检验：列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行检验，检验的目的有两个：其一，检验求出来的未知数的值是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是不是满足实际问题的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去；（7）答：就是写出答案，其中在书写时还要注意不要漏写单位名称．例2如图所示，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2m，那么梯子的底端在地面上滑动的距离是多少？AA’CBB’分析：首先设出未知数，其次再根据勾股定理列出方程．∵AB＝10m，AC＝8m，∴根据勾股定理得：BC＝6（m）．解：设梯子的底端在地面上滑动的距离BB′为xm．根据题意，得（8－2）2＋（6＋x）2＝102．化简，得x2＋12x－28＝0．．解得x1＝2，x2＝－14（不合题意，舍去）．答：梯子的底端在地面上滑动的距离是2m．AA’CBB’例3在宽为20m、长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540m2，道路的宽应为多少？20米32米分析：如图所示，此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540m2.解法一设道路的宽为xm，则横向的路面面积为32xm2，纵向的路面面积为20xm2，道路面积为（32x＋20x－x2）m2．20米32米根据题意得：32×20－（32x＋20x－x2）＝540．化简得，x2－52x＋100＝0．解得，x1＝2，x2＝50．其中的x＝50超出了原矩形的长和宽，应舍去．答：所求道路的宽为2m．解法二：见下图，设路宽为xm，则此时耕地矩形的长（横向）为（32－x）m，耕地矩形的宽（纵向）为（20－x）m．20米32米根据题意得：（32－x）（20－x）＝540．20米32米解法二设路宽为xm，则耕地矩形的长（横向）为（32－x）m，耕地矩形的宽（纵向）为（20－x）m．解得，x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）．（以下步骤同解法一）小结1．解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．2．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留，看到负解就舍去．其实，即使是正解也要根据题设条件进行检验，该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为20m、长为32m”这个条件，从而进行正确取舍．总结•解决此类问题必须具备良好的几何概念知识，熟悉长度，面积，体积等公式。•有时需要通过平移的方法来解决问题。•常见问题：挖沟的宽度，制作盒子。（二）数字与方程1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.得根据题意为设这两位数的个位数字解,,:x.3102xxx.030112xx整理得.6,521xx解得.3363,2353xx或.36,25:或这个两位数为答2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的两位数.得根据题意字为设这个两位数的个位数解,,:x.736510510xxxx.0652xx整理得.3,221xx解得.2355,3255xx或.2332:或这两个数为答例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x)2增长21%aa+21%aa(1+x)2=a+21%a分析：（三）增长率问题a(1+x)2=1.21a(1+x)2=1.211+x=1.1x=0.1解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则a(1+x)2=a+21%a答:平均每年增长的百分率为10%．例2.某市为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？解：设这种药品平均每次降价的百分率是x．根据题意，得200(1－x)2＝128．解得x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去）．答：这种药品平均每次降价20%．总结1.平均增长率问题中的基本数量关系为•A（1+X）n=B(A为始量，B为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率)•类似的还有平均降低率问题中的基本数量关系为A（1-X）n=B(A为始量，B为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率)2．对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与一般性的增加和减少相混淆．（四）储蓄问题例1.王老师把500元钱按一年定期存入银行，到期后，取出了300元捐给了灾区，剩下的200元和应得的利息又全部按一年定期存入，由于利息下调，第二次存款的年利率是第一次存款年利率的，这样到期后可得利息15元，求第一次存款的年利率53解：第一次存款的年利率为x，根据题意，可得方程：整理，得20x2+8x-1＝0．解得x1＝0.1=10％，x2＝-0.5(舍去)．因此第一次存款的年利率是10%15300150053xx例1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（五）销售问题分析：这类销售问题，涉及的数量关系比较多，我们可以通过列表的方式来分析其中的数量关系．每天的销售量（件）每件衬衫的盈利（元）总利润（元）降价前降价后204080020＋2x40－x1200解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得整理得：x2－30x＋200＝0．解得，x1＝10，x2＝20．答：每件衬衫应降价10元或20元．（40－x）（20＋2x）＝1200．例2（2010南京）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性清仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需化简）：时间第一个月第二个月清仓单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？分析：时间第一个月第二个月清仓单价（元）8040销售量（件）200800－200－（200＋10x）80－x200＋10x解：设为了获利9000元，第二个月每件T恤的售价应定为（80－x）元，即每件T恤降价x元，根据题意得：80×200＋（80－x）（200＋10x）＋[800－200－（200＋10x）]×40－50×800＝9000．整理得：x2－20x＋100＝0．解得，x1＝x2＝10．当x＝10时，80－x＝70＞50．答：第二个月的单价应为70元．1.某汽车在公路上行驶,它的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为:s=10t+3t2,那么行驶200m需要多长时间?（六）运动与方程开启智慧得根据题意解,:.2001032tt:整理得).,(10;32021舍去不合题意xx,02001032tt:解得).7.6(320200:ssm约需要行驶答A北东●B2.某军舰以20节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行,它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处的正南方向的B处,AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.●BA北东●B●B得根据题意小时能侦察到军舰设电子侦察船最早需要解,,:x.5020)3090(222x:整理得.1328;221xx.05654132xx:解得.2:时能侦察到军舰电子侦察船最早能在答h（七）动态几何问题例1在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿PBQ的面积等于8cm2？BACDQP解：设x秒后⊿PBQ的面积等于8cm2根据题意，得整理，得解这个方程，得12(6)82xx2680xx122,4xx06x所以2秒或4秒后⊿PBQ的面积等于8cm2例2：等腰直角⊿ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?QRCBAP21216816044xxxxAPcm2解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x根据题意得：x8-x整理得：解这个方程得：答：当时，四边形面积为16cm例1有一根长为120cm的绳子．（1）能否围成一个面积是500cm2的矩形？（2）能否围成一个面积是1000cm2的矩形？（八）假设存在问题分析：在解决这一类存在问题时，一般先假设面积是500cm2和1000cm2的矩形存在，再根据题意列出方程求解．如果方程有解，就说明符合条件的矩形存在；如果方程无解，则说明符合条件的矩形不存在．解：设这根绳子围成的矩形的长是xcm，则宽是（60－x）cm．（1）如果矩形的面积是500cm2，那么根据题意得：x（60－x）＝500．化简得，x2－60x＋500＝0．解得x1＝10，x2＝50．当x1＝10时，60－x1＝50；当x2＝50时，60－x2＝10．答：长为120cm的绳子能围成面积是500cm2的矩形．（2）如果矩形的面积是1000cm2，那么根据题意得：x（60－x）＝1000．化简得，x2－60x＋1000＝0．∵b2－4ac＝（－60）2－4×1×1000＝3600－4000＝－400＜0，∴此方程没有实数解．答：长为120cm的绳子不能围成面积是1000cm2的矩形．解决存在性问题的一般步骤是：先假设问题存在或成立，然后根据题意列出方程求解．如果方程有解，就说明假设成立；如果方程无解，则说明假设不成立．小结例:在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，问参加这次聚会的人数是多少？（九）统计问题分析：对这个问题，我们可