245正多边形的性质

正多边形的性质24.6正多边形与圆（二）·O•通过上节课的学习，我们知道，将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形。反过来，是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢？我们仍然以正五边形为例来进行探究如图，过正五边形ABCDE的顶点A,B,C作⊙O，连接OA,OB,OC,OD,OE.∵OB=OC,∴∠1=∠2.又∵∠ABC=∠BCD,∴∠3=∠4.∵AB=CD,∴△OAB≌ODC.∴OA=OD,即点D在⊙O上.同理，点E也在⊙O上.∴正五边形ABCDE有一个以O为圆心的外接圆.由于正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，等弦的弦心距相等，所以以点O为圆心、弦心距OH为半径的圆与正五边形的各边都相切.DEABC·OH1234所以，正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.④正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角（即∠AOB）①我们把一个正多边形的外接圆（内切圆）的公共圆心叫做这个正多边形的中心（即点O）②外接圆的半径叫做正多边形的半径（即OA）③内切圆的半径叫做正多边形的边心距（内切圆的半径、即OM）O·中心角半径R边心距rABCDEFM概念学习正n边形的每个中心角都等于n360正n边形的每一个内角的度数都是____________;中心角是___________;正多边形的中心角与外角的大小关系是________.nn1802）（n360相等同步练习1.点O是正△AOB的中心，OB叫正△ABC的________，它是正△ABC的________圆的半径.2.OD⊥BC,OD叫作正△ABC________，它是正△ABC的________圆的半径。ABCoD半径外接边心距内切3.∠BOC叫做正△ABC的_________,中心角•例求边长为a的正六边形的周长和面积正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对称轴，每一条对称轴都通过对称中心。如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.120°①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．AOCB你能尺规作出正四边形、正八边形吗？·ABCDO只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEF·D以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………说说作正多边形的方法有哪些?归纳（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD同理，点E在⊙O上．所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆•定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的2、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的ABCD.OE中心边心距同步练习5、图中正六边形ABCDEF的中心角是它的度数是6、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？BAEFCD.O∠AOB60度同步练习EFCD.ABOM连接OC，由垂径定理（运用圆的有关知识）得ABAM21nnAOM1803602121中心角.RtΔ222AMOMOAAOM中，有在中心角一半边长一半半径R边心距rMCO探索新知603180336021213中心角时，当AOMn454180436021214中心角时，当AOMn306180636021216中心角时，当AOMn边心距r半径R60OMCA边心距r半径R30MCOA边心距r半径R45OMCA探索新知）边心距（）边心距（面积　，　　边心距）（rnarLSraR2121222EFCD..O中心角n360中心角nBOGAOG180ABG边心距OG把△AOB分成2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.Ra例.有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).解:如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长l=4×6=24(m).OABCDEFRPr360606例题讲解利用勾股定理,可得边心距224223.r亭子地基的面积211242341.6(m).22Slr在Rt△OPC中,OC=4,PC=4222BC，OABCDEFRPr例题讲解轴对称图形：一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.正多边形的性质正五边形正八边形正三边形什么叫中心？旋转对称图形：每旋转------就与原图重合，旋转中心是--------------边数是偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心就是对称中心.正八边形正六边形正多边形的性质1．正八边形的每个内角是______度.135°2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠CFD的度数是（）A.60°B.45°C.30°D.22.5°C巩固练习3．如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就与原来的图形重合，那么这个正多边形是（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形B4．已知正六边形的边心距为，则它的周长是_____.312巩固练习6.正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O的半径为R，则该正六边形的周长和面积各是多少？2663234216213412633130tan,30tan，,3021,.,,OBO⊙,:RRROMABSRAMABPROMAMOMAMROMAOBAOMAOMRtBMAMMABOMOMOA、M，AB中在于则连结于切设如图解ABCDEFOMR